Một lớp học có $25$ học sinh giỏi môn Toán, $23$ học sinh giỏi môn Lí, $14$ học sinh giỏi cả môn Toán và Lí và có $6$ học sinh không giỏi môn nào cả. Lớp học đó có bao nhiêu học sinh?

Trả lời:

Cho tam giác $ABC$ có $A(0;3); \, B(-1;2); \, C(2;1)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để điểm $M\Big(m;\dfrac{2m-1}{2}\Big)$ nằm bên trong tam giác $ABC$?

Trả lời:

Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:

i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá $600$ đơn vị vitamin A và không quá $500$ đơn vị vitamin B.

ii) Một người mỗi ngày cần từ $400$ đến $1 \, 000$ đơn vị vitamin cả A lẫn B.

iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày số đơn vị vitamin B phải nhiều hơn $\dfrac{1}{2}$ số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin.

Biết giá một đơn vị vitamin A là $9$ đồng và giá một đơn vị vitamin B là $7,5$ đồng. Phương án dùng $x$ đơn vị vitamin A và $y$ đơn vị vitamin B thỏa mãn các điều kiện i), ii), iii) thì số tiền phải trả ít nhất. Tính $x + y$.

Trả lời:  

Một tháp viễn thông cao $42$ m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc $34^\circ$ so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp $33$ m như hình vẽ.

Tính chiều dài của sợi dây cáp đó. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của đơn vị mét)

Trả lời:

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Khi đó tỉ số $\dfrac{R}{r}$ có dạng $a+b\sqrt{c}$, với $a, \, b, \, c \in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.

Trả lời:

Biểu thức $F=y - x$ đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện $\left\{ \begin{aligned}&-2x+y\le -2 \\&x-2y\le 2 \\&x+y\le 5 \\&x\ge 0 \\ \end{aligned} \right.$ tại điểm $S(x;y)$ với $x$ và $y$ là các số nguyên. Tính $x^2+y^2$.

Trả lời: