Bất phương trình bậc nhất một ẩn SVIP

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Định nghĩa

Bất phương trình dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0$; $ax + b \ge 0$; $ax + b \le 0$) trong đó $a$, $b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$.

Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$?

a) $3x + 16 \le 0$; 

b) $-5x + 5 > 0$;

c) $x^2 - 4 > 0$; 

d) $-3x < 0$.

Lời giải

c) không là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ vì $x^2 - 4$ là đa thức bậc hai.

Ví dụ 2. Xét bất phương trình $3x + 8 < 20$.

Giá trị $x = \dfrac43$ là một nghiệm của bất phương trình.

Vì $3. \dfrac43  + 8 < 20$ là một khẳng định đúng.

Nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Số $x_0$ là một nghiệm của bất phương trình $A(x) < B(x)$ nếu $A(x_0) < B(x_0)$ là khẳng định đúng.

+ Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 3. Trong các giá trị sau, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình $x + 4 > 2x - 12$?

a) $x = 1$;

b) $x = 17$.

Lời giải

a) Thay $x = 1$ vào BPT đã cho, ta được: 

$1 + 4 > 2.1 - 12$ là khẳng định đúng

Vậy $x = 1$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Thay $x = 17$ vào BPT đã cho, ta được: 

$17 + 4 > 2.17 - 12$ là khẳng định sai

Vậy $x = 17$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

2. CÁCH GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bất phương trình $ax + b > 0$ được giải như sau:

⚡Với $a > 0$

$ax + b > 0$

$ax > -b$

$x > -\dfrac ba$

Nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > -\dfrac ba$.

⚡Với $a < 0$

$ax + b > 0$

$ax > -b$

$x < -\dfrac ba$

Nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < -\dfrac ba$.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình $-2x - 4 > 0$.

Lời giải

Ta có $-2x - 4 > 0$

$-2x > 0 + 4$ $\longrightarrow$ Cộng hai vế với $4$

$-2x > 4$

$x < 4.\Big(-\dfrac12\Big)$ $\longrightarrow$ Nhân hai vế với số âm và đổi chiều BĐT

$x < -2$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -2$.

Ví dụ 5. Bạn Thanh có $100$ nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá $18$ nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá $7$ nghìn đồng. Bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Lời giải

Nếu kí hiệu số vở bạn Thanh mua là $x$ ($x\in \mathbb{N}^*$) thì $x$ thỏa mãn: $7x + 18 \le 100$

$7x \le 100 - 18 $

$7x \le 82$

$x \le  \dfrac{82}7$

Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất $11$ quyển.