Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8\,000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích $500$ cm³, chiều cao của hộp là $2$ cm. Tìm kích thước đáy của chiếc hộp đó sao cho vật liệu sử dụng là tối thiểu.

Một cái sân hình vuông $ABCD$ có cạnh là $8$ m. Người ta muốn lát gạch màu khác để trang trí lên mảnh sân hình vuông $MNPQ$ nội tiếp sân hình vuông $ABCD$. Tìm vị trí của $M, \, N, \, P, \, Q$ để hình vuông $MNPQ$ có diện tích nhỏ nhất.

Trong cuộc thi "Đố vui OLM", mỗi thí sinh phải trả lời $12$ câu hỏi của ban tổ chức. Mỗi câu hỏi gồm bốn phương án, trong đó chỉ có một phương án đúng. Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì thí sinh được cộng $5$ điểm, trả lời sai sẽ bị trừ $2$ điểm. Khi bắt đầu cuộc thi, mỗi thí sinh có sẵn $20$ điểm. Thí sinh nào đạt từ $50$ điểm trở lên sẽ được vào vòng thi tiếp theo. Thí sinh phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu thì được vào vòng thi tiếp theo?

Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày Giải phóng hoàn toàn miền Nam 30 – 4. Công ty dự định nếu giá tour là $2$ triệu đồng thì sẽ có khoảng $200$ người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá $100$ nghìn đồng/tour thì sẽ có thêm $20$ người tham gia. Công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất?

Một mảnh đất hình vuông $ABCD$ cạnh $30$ m. Người ta xây dựng một vườn hoa dạng hình vuông $EFGH$ có các đỉnh $E, F, G, H$ thuộc các cạnh của hình vuông $ABCD$ (hình vẽ). Xác định vị trí điểm $E$ trên cạnh $AB$ để diện tích vườn hoa nhỏ nhất.

Một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước $a$ (cm), người ta muốn cắt đi ở bốn góc bốn hình vuông cạnh bằng $x$ (cm) để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Phải cắt bốn góc như thế nào để hình hộp thu được có thể tích lớn nhất?

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $30$ cm. Trên cạnh $AB$ lấy hai điểm $E$, $G$ sao cho $AE=GB=x$ (cm) và điểm $E$ nằm giữa điểm $A$ và điểm $G$. Qua $E$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $CD$ tại $F$; qua $G$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $CD$ tại $H$.

Người ta gập hình vuông theo hai cạnh $EF$ và $GH$ sao cho cạnh $AD$ trùng cạnh $BC$ như hình vẽ để tạo thành một hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm $x$ để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.

Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích trình bày là $384$ cm². Lề trên, lề dưới đều là $3$ cm; lề phải, lề trái đều là $2$ cm. Chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là bao nhiêu để diện tích cả trang giấy là nhỏ nhất?