Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề phụ sau, với mọi a,b dương ta có:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Thật vậy biến đổi tương đương ta đưa về \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)=0\)
BĐT này luôn đúng, thế thì
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)}{2}\)
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\)
Như vậy ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\\\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\\\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\end{cases}}\)
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=1\)
Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1/3
Đặng Ngọc Quỳnh không cần a,b rồi suy ra x,y, quá lòng vòng
Bạn tham khảo cách làm tại đây
Câu hỏi của Pham Quoc Cuong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Trước tiên chứng minh:
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Áp dụng bài toán được
\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)
Ta có:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
Σ\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\)\(\ge x+y+z=2008\)
\(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}=\frac{\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}\)
\(\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^2+y^2+z^2+t^2}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x+y+z+t\right)}{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(x+y+z+t\right)}\)
\(\ge\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{x+y+z+t}\ge\frac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=t=1/4
Bài làm có tham khảo của GOD Đạt Hồ
Sử dụng AM - GM dạng cộng mẫu :
\(\frac{1}{x+1}+\frac{4}{y+2}+\frac{9}{z+3}\)
\(\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z+1+2+3}\)
\(=\frac{36}{x+y+z+6}\)
\(=\frac{36}{12}=3\)
Đẳng thức xảy ra tại ......
Trên kia là sai lầm thường gawpjjj ( theo mình nghĩ thế tại nhác tìm dấu bằng )
thứ 2 là wolfram alpha bảo không có minimize:
Áp dụng BĐT Schwars và BĐT AM - GM:
\(\frac{x}{x^4+1+2xy}\le\frac{1}{4}x\left(\frac{1}{x^4+1}+\frac{1}{2xy}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x^4+1}+\frac{1}{2y}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{2x^2}+\frac{1}{2y}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)\).
Tương tự rồi cộng vế với vế ta được:
\(\frac{x}{x^4+1+2xy}+\frac{y}{y^4+1+2yz}+\frac{z}{z^4+1+2zx}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2x}\right)=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
Đặt vế trái là P
\(P\le\frac{x}{2x^2+2xy}+\frac{y}{2y^2+2yz}+\frac{z}{2z^2+2zx}=\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{2\left(y+z\right)}+\frac{1}{2\left(z+x\right)}\)
\(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Bdt phu \(\frac{a^{n+2}+b^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}}\ge\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\)
cai nay ban tu chung minh nha , nhan cheo rut gon la ra
dau = khi a=b
Ap dung ta co \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{x+y}\ge\frac{x+y}{2}\)
tuong tu va suy ra \(A\ge\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=2015\)
Vay Amin = 2015 <=> x=y=z=2015/3
chuc ban hoc tot