K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
0
VS
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có:
\(2x^2+xy+2y^2=\frac{3}{2}(x^2+y^2)+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)\)
\(=\frac{3}{2}(x^2+y^2)+\frac{1}{2}(x+y)^2\)
Theo BĐT Bunhiacopxky:
\((x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow \frac{3}{2}(x^2+y^2)\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+xy+2y^2=\frac{3}{2}(x^2+y^2)+\frac{1}{2}(x+y)^2\geq \frac{5}{4}(x+y)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{2x^2+xy+2y^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(y+z)\)
\(\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(z+x)\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\geq \sqrt{5}(x+y+z)=\sqrt{5}\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
SL
1
ML
14 tháng 11 2015
\(\text{Có: }x+y=5-z;\text{ }xy=\frac{2}{z}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(5-z\right)^2-\frac{4}{z}\)
Suy ra: \(\left(5-z\right)^2-\frac{4}{z}+z^2=13\Leftrightarrow2z^3-10z^2+25z-17=0\)
\(\Leftrightarrow\left(z-1\right)\left(2z^2-8z+17\right)=0\Leftrightarrow z=1\)
\(\Rightarrow\int^{x+y=4}_{xy=2}\Leftrightarrow x=2+\sqrt{2};\text{ }y=2-\sqrt{2}\text{ }or\text{ }x=2-\sqrt{2};\text{ }y=2+\sqrt{2}\)
Do vai trò của x, y, z là như nhau nên hệ có nghiệm
\(\left(x;y;z\right)=\left(2+\sqrt{2};\text{ }2-\sqrt{2};1\right)\)và các hoán vị.
KK
0
G
8 tháng 7 2019
\(A=\sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{y}{2x^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{z}{2x^2y^2+xyz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{2xyz.yz+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{2xyz.xz+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{2xyz.xy+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(xy+yz+xz\right)+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{xz\left(xy+yz+xz\right)+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(xy+yz+xz\right)+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{\left(yz+xy\right)\left(yz+xz\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{\left(xz+xy\right)\left(xz+yz\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{\left(xy+yz\right)\left(xy+xz\right)}}\)
Áp dụng bđt \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\) ta có:
\(2A\le\frac{x}{yz+xy}+\frac{x}{yz+xz}+\frac{y}{xz+xy}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{xy+yz}+\frac{z}{xy+xz}\)
\(=\frac{x+z}{yz+xy}+\frac{x+y}{yz+xz}+\frac{y+z}{xz+xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Mà: \(xy+yz+xz=2xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(\Rightarrow2A\le2\Rightarrow A\le1."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{2}\)
Bổ sung đề: Tìm 3 số nguyên x, y, z sao cho \(xyz=x^2-2z+2\)
Giải:
Từ \(xyz=x^2-2z+2\Rightarrow z=\dfrac{x^2+2}{xy+2}\in Z\)
*) Với \(x=y\) ta có \(z=1\)
Vậy mọi bộ 3 số \(\left(x;x;1\right)\) với x là số nguyên dương tùy ý thì thỏa mãn đề bài
*) Với \(x< y\Rightarrow x^2+2< xy+2\Rightarrow\dfrac{x^2+2}{xy+2}< 1\)
=> Không thỏa mãn đề bài
*) Với \(x>y\)
Giả sử bộ 3 số nguyên dương \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn để bài \(\Rightarrow y\left(x^2+2\right)⋮xy+2\)
\(\Leftrightarrow\left[x\left(xy+2\right)-2\left(x-y\right)\right]⋮\left(xy+2\right)\Rightarrow2\left(x-y\right)⋮\left(xy+2\right)\)
Do đó tồn tại số k nguyên dương sao cho \(2\left(x-y\right)=k\left(xy+2\right)\)
+ Với \(k\ge2\) ta có \(x-y\ge xy+2\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y-1\right)+3\le0\) (vô lí)
+ Với \(k=1\) ta có \(2\left(x-y\right)=xy+2\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(y-2\right)=-6\)
Do x; y nguyên dương và \(x>y\Rightarrow y-2=-1\) và \(x+2=6\Leftrightarrow x=4\) và \(y=1\Rightarrow z=3\) (tm)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(4;1;3\right)\) và bộ số \(\left(x;x;1\right)\) trong đó x là số nguyên dương thỏa mãn đề bài.