VN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NL
0
14 tháng 8 2016
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
2 tháng 7 2016
Từ \(x^2-2xy+x-2y\le0.\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(x+1\right)\le0\)(1). Do x;y là các số thực không âm nên x + 1 >0 nên từ (1) => \(0\le x\le2y\)
Với mọi \(0\le x\le2y\)thì \(x^2+3x\le\left(2y\right)^2+3\left(2y\right)=4y^2+6y\)
Do đó, \(M=x^2-5y^2+3x\le4y^2-5y^2+6y=-y^2+6y-9+9=-\left(y-3\right)^2+9\le9\forall y\)
Vậy GTLN của M là: 9 khi y = 3 và x = 2y = 6.
23 tháng 6 2016
lớn hơn hoặc bằng ba căn ba nhé bạn. sorry nha, minh quên mất
PN
23 tháng 7 2016
Đặt \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\) với \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(B.C.S\) cho hai bộ số thực không âm gồm có \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\) và \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:
\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\) \(\left(2\right);\) \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) , suy ra:
\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
Ta có:
\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)
Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho \(\left(i\right)\) , ta có:
\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)
\(=6+6+6+72-8=82\)
Do đó, \(K\ge82\)
Suy ra \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 2
Lời giải;
Vế 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2=(x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$
$x^3+\frac{x}{2}\geq \sqrt{2}x^2$
$y^3+\frac{y}{2}\geq \sqrt{2}y^2$
$\Rightarrow x^3+y^3+\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{2}(x^2+y^2)=\sqrt{2}$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq \sqrt{2}-\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
-----------------------
Vế 2:
$x^2+y^2=1$
$\Rightarrow x^2=1-y^2\leq 1\Rightarrow -1\leq x\leq 1$
$y^2=1-x^2\leq 1\Rightarrow -1\leq y\leq 1$
$\Rightarrow x^3\leq x^2; y^3\leq y^2$
$\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2$ hay $x^3+y^3\leq 1$
TN
3 tháng 7 2016
\(x^2-2xy+x-2y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-2y\right)+x-2y\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\ge2y\)( vì x là số thực không âm nên x+1 >0 )
\(\Leftrightarrow0\le y\le\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow y^2\le\frac{x^2}{4}\)( do 2 vế không âm nên bình phương hai vế )
\(\Rightarrow M\le\frac{x^2+3x-5x^2}{4}=\frac{-x^2}{4}+3x=9-\left(3-\frac{x}{2}\right)^2\le9\)
Vậy Mmax=9 <=> x=6, y =3
CD
1
TN
22 tháng 6 2016
\(Gt\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
\(\Rightarrow x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=x^2y^2\left(4-2xy\right)\)
Ta cần CM:\(x^2y^2\left(4-2xy\right)\le2\Leftrightarrow x^2y^2\left(2-1xy\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3-2x^2y^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x^2y^2-xy-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left[xy\left(xy-1\right)-1\right]\ge0\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta lại có \(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow xy\le1\Rightarrow xy-1\le0\)
\(xy>0\Rightarrow xy\left(xy-1\right)\le0\Rightarrow xy\left(xy-1\right)-1\le-1\)
\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left[xy\left(xy-1\right)-1\right]\ge0\)luôn đúng do tích của 2 số âm thì luôn\(\ge\)0
Dấu " = " xảy ra <=> xy = 1 ; x = y và x + y = 2 <=> x = y = 1
áp dụng BĐT Cauchy ta có;
xy ≤ [(x + y)/2]² = 1. (dấu = xảy ra khi x = y = 1)
2xy. (x² + y²) ≤ [(2xy + x² + y²)/2]² = [(x + y)²/2]² = 2² = 4
(dấu = xảy ra khi x² + y² = 2xy → (x - y)² = 0 → x = y = 1)
nhân theo vế => xy.2xy(x² + y²) ≤ 1.4 = 4
=> 2x²y²(x² + y²) ≤ 4
=> bieu thuc ≤ 2. → đpcm
dấu = xảy ra khi x = y = 1.
Vay Max bieu thuc=2 khi x=y=1