Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
lớn hơn hoặc bằng ba căn ba nhé bạn. sorry nha, minh quên mất
\(Gt\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
\(\Rightarrow x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=x^2y^2\left(4-2xy\right)\)
Ta cần CM:\(x^2y^2\left(4-2xy\right)\le2\Leftrightarrow x^2y^2\left(2-1xy\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3-2x^2y^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x^2y^2-xy-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left[xy\left(xy-1\right)-1\right]\ge0\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta lại có \(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow xy\le1\Rightarrow xy-1\le0\)
\(xy>0\Rightarrow xy\left(xy-1\right)\le0\Rightarrow xy\left(xy-1\right)-1\le-1\)
\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left[xy\left(xy-1\right)-1\right]\ge0\)luôn đúng do tích của 2 số âm thì luôn\(\ge\)0
Dấu " = " xảy ra <=> xy = 1 ; x = y và x + y = 2 <=> x = y = 1
Từ x+y+z=1 => 1-x = y+z
Áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\), ta có : \(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-z\right)\left(1-y\right)\le\left[\left(y+z\right)+\left(1-z\right)\right]^2.\left(1-y\right)\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\le1+y\)
\(\Rightarrow1+y=x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)(ĐPCM)
\(a.x^2-2xy+6y^2-12x+2y+41\)
\(=x^2-2xy+y^2-12x+12y+36+5y^2-10y+5\)
\(=\left(x-y\right)^2-2.6\left(x-y\right)+36+5\left(y-1\right)^2\)
\(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2\) ≥ \(0\)
\(b.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{2x}{y}-\dfrac{2y}{x}+3\)
\(=\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1+1\)
\(=\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2+1>0\)
Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)
Tương tự và cộng lại
\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)
áp dụng BĐT Cauchy ta có;
xy ≤ [(x + y)/2]² = 1. (dấu = xảy ra khi x = y = 1)
2xy. (x² + y²) ≤ [(2xy + x² + y²)/2]² = [(x + y)²/2]² = 2² = 4
(dấu = xảy ra khi x² + y² = 2xy → (x - y)² = 0 → x = y = 1)
nhân theo vế => xy.2xy(x² + y²) ≤ 1.4 = 4
=> 2x²y²(x² + y²) ≤ 4
=> bieu thuc ≤ 2. → đpcm
dấu = xảy ra khi x = y = 1.
Vay Max bieu thuc=2 khi x=y=1