NM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 10 2023
a: \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{3^n}{2^{n+1}}:\dfrac{3^{n-1}}{2^n}\)
\(=\dfrac{3^n}{3^{n-1}}\cdot\dfrac{2^n}{2^{n+1}}=\dfrac{3}{2}>1\)
=>(un) là dãy tăng
c: ĐKXĐ: n>=1
\(u_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}:\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}< 1\)
=>Đây là dãy số giảm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 11 2021
Dãy đã cho hiển nhiên là dãy dương
Ta sẽ chứng minh dãy đã cho bị chặn trên bởi 2 hay \(u_n\le2\) với mọi n
- Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (đúng)
- Giả sử điều đó đúng với \(n=k\ge1\) hay \(u_k\le2\)
- Ta cần chứng minh với \(n=k+1\) cũng đúng
Hay \(u_{k+1}\le2\)
Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}\le\sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Vậy \(u_n\le2\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{2}u_n\Rightarrow0< v_n\le1\) và \(\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\2v_{n+1}=\sqrt{2+2v_n}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4v_{n+1}^2=2+2v_n\Rightarrow v_n=2v_{n+1}^2-1\)
Do \(0< v_n\le1\) , đặt \(v_n=cos\left(x_n\right)\) với \(x_n\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\pi}{4}\\cos\left(x_n\right)=2cos^2\left(x_{n+1}\right)-1=cos\left(2x_{n+1}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n=2x_{n+1}\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x_n=\dfrac{\pi}{4}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\)
\(\Rightarrow v_n=cos\left(x_n\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow u_n=2v_n=2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
Dãy \(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\) giảm và thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên \(cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) tăng
Do đó dãy số đã cho là dãy tăng.
P/s: đây là cách làm hoàn chỉnh có thứ tự (nhược điểm là rất dài). Có 1 cách khác đơn giản hơn là bằng 1 phép màu nào đó ngay từ đầu bạn đưa ra ngay dự đoán công thức tổng quát của dãy số là \(2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) rồi chứng minh nó bằng quy nạp cũng được. Như vậy sẽ rất ngắn, cả bài chỉ 4-5 dòng nhưng lời giải hơi đột ngột
15 tháng 10 2023
1:
a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)
\(u_5=2\cdot29+3=61\)
b: \(u_2=u_1+2^2\)
\(u_3=u_2+2^3\)
\(u_4=u_3+2^4\)
\(u_5=u_4+2^5\)
Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)
B
2
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Cách 1:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{y_{n + 1}} - {y_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) - \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n - \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} = \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\end{array}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt n - \sqrt {n + 2} < 0\\\sqrt {n + 2} > 0,\sqrt {n + 1} > 0,\sqrt n > 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) > 0\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} < 0\end{array}\)
Vậy \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0 \Leftrightarrow {y_{n + 1}} < {y_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Cách 2:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt {n + 1} + \sqrt n < \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} \Leftrightarrow {y_n} > {y_{n + 1}}\end{array}\)
Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 12 2021
Lời giải:
Có:
\(u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+4}-\sqrt{n+1}-(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})\)
\(=(\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<0\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
Do đó dãy đã cho là dãy giảm.
NM
1
10 tháng 9 2023
\(u_n=\dfrac{3^n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3^n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{2^n.3^{n+1}-2^n-2^{n+1}.3^n+2^{n+1}}{2^n.2^{n+1}}\)
\(=\dfrac{2^n.3^n\left(3-2\right)-2^n\left(2-1\right)}{2^{2n+1}}\)
\(=\dfrac{2^n.\left(3^n-1\right)}{2^{2n+1}}\)
\(=\dfrac{\left(3^n-1\right)}{2}>0\left(n>1\right)\)
Vậy dãy \(u_n\)đã cho tăng
\(u_n=\sqrt[]{n+10}-\sqrt[]{n+2}\)
\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{n+10-\left(n+2\right)}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)
\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{8}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)
\(u_{n+1}=\sqrt[]{n+11}-\sqrt[]{n+3}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\dfrac{n+11-\left(n+3\right)}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\dfrac{8}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}\)
\(u_{n+1}-u_n=8\left(\dfrac{1}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}-\dfrac{1}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\right)\)
mà \(\dfrac{1}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}< \dfrac{1}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n< 0\)
Vậy dãy đã cho là dãy số giảm