Question

[Phan]

Xét một bảng ô vuông gồm 4x4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách?

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Trên mỗi hàng, mỗi cột phải có hai số -1, hai số 1. 

Ta sẽ xếp theo hàng. 

Ta có các khả năng của các hàng như sau: 

(1) 1, 1, -1, -1 

(2) 1, -1, -1, 1

(3) -1, -1, 1, 1

(4) -1, 1, -1, 1

(5) 1, -1, 1, -1

(6) -1, 1, 1, -1

Giả sử hàng 1 ta điền bộ (1). Ta có các trường hợp sau: 

TH1: Hàng 2 điền bộ (1), khi đó hàng 3, hàng 4 ta phải điền bộ (3). 

TH2: Hàng 2 điền bộ để tổng 2 số trong của các cột bằng 0, khi đó ta điền bộ (3). Hàng 3 và hàng 4 khi đó cũng phải điền sao cho tổng các cột trong hai hàng bằng 0. Có 6 cách điền như vậy. 
TH3: Hàng 2 điền sao cho có 2 cột trong 4 cột có tổng bằng 0. Có 4 cách. Khi đó điền hàng 3 có 2 cách, điền hàng 4 có 1 cách. Tổng số cách là: 1.4.2.1=8 (cách). 

Vậy có tổng số cách là: 6.(1 + 6 + 8) = 90 (cách).