Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow4cos\dfrac{C}{2}=\left(\sqrt{sinA}+\sqrt{sinB}\right)^2\le2\left(sinA+sinB\right)\)
\(\Leftrightarrow2cos\dfrac{C}{2}\le2sin\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\dfrac{C}{2}\le cos\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\dfrac{A-B}{2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow cos\dfrac{A-B}{2}=1\)
\(\Leftrightarrow A=B\)
\(\Rightarrow\) Tam giác cân tại C
1.
Sửa đề: \(S=\dfrac{1}{6}\left(ch_a+bh_c+ah_b\right)\)
\(a.h_a=b.h_b=c.h_c=2S\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h_a=\dfrac{2S}{a}\\h_b=\dfrac{2S}{b}\\h_c=\dfrac{2S}{c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6S=\dfrac{2Sc}{a}+\dfrac{2Sb}{c}+\dfrac{2Sa}{b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3\)
Mặt khác theo AM-GM: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(\Leftrightarrow\) Tam giác đã cho đều
2.
Bạn coi lại đề, biểu thức câu này rất kì quặc (2 vế không đồng bậc)
Ở vế trái là \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) hay \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) nhỉ?
3.
Theo câu a, ta có:
\(VT=\dfrac{2S}{a}+\dfrac{2S}{b}+\dfrac{2S}{c}\ge\dfrac{18S}{a+b+c}=\dfrac{18.pr}{a+b+c}=9r\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Hay tam giác đã cho đều
\(sina+cosa=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}sina+\dfrac{\sqrt{2}}{2}cosa\right)\)
\(=\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2}\left(sina.cos\dfrac{\pi}{4}+cosa.sin\dfrac{\pi}{4}\right)\\\sqrt{2}\left(sina.sin\dfrac{\pi}{4}+cosa.cos\dfrac{\pi}{4}\right)\end{matrix}\right.\)
\(=\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2}sin\left(a+\dfrac{\pi}{4}\right)\\\sqrt{2}cos\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có: A = \(sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}=cos\dfrac{B+C}{2}+2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}\)
\(\Leftrightarrow A-2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}-cos^2\dfrac{B+C}{4}+sin^2\dfrac{B+C}{4}=0\)\(\Leftrightarrow A-2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}+2sin^2\dfrac{B+C}{4}-1=0\)
Δ' = \(cos^2\dfrac{B-C}{4}-2\left(A-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow A-1\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow A\le\dfrac{3}{2}\)
Sử dụng BĐT: \(a^n+b^n\ge2\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\) hay \(\left(a+b\right)^n\le2^{n-1}\left(a^n+b^n\right)\)
Ta có:
\(2^ncos\dfrac{C}{2}=\left(\sqrt[n]{sinA}+\sqrt[n]{sinB}\right)^n\le2^{n-1}\left(sinA+sinB\right)\)
\(\Leftrightarrow2cos\dfrac{C}{2}\le2sin\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\dfrac{C}{2}\le cos\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\dfrac{A-B}{2}=1\Leftrightarrow A=B\)
Tam giác cân tại C
BĐT lạ quá