KQ
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
GD
2
29 tháng 4 2018
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy\ge xy\)
\(\text{Do: }x\ge0;y\ge0\)
\(\Rightarrow x+y\ge0\)
Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)xy\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^2\ge x^2y+xy^2\left(đ\text{pcm}\right)\)
KT
29 tháng 4 2018
mk bổ sung thêm đề nhé: x,y > 0
cách khác:
\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) luôn đúng do (x-y)2 >= 0; x+y > 0 (x,y>0)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
H
15 tháng 5 2018
Giải:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi x, y, z)
Vậy ...
19 tháng 7 2017
Xét \(\dfrac{x^3+xy^2-x^2y-y^3}{x-y}-y^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^2+y^2\right)}{x-y}-y^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{x-y}-y^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2-y^2\ge0\Leftrightarrow x^2\ge0\left(đúng\right)\)
=> đpcm
KN
4 tháng 1 2021
Ta có đánh giá quen thuộc: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\)(Do xyz = 1)\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Đặt \(t=\frac{1}{xy+yz+zx}\)thì bất đẳng thức trở thành \(3t^2+\frac{1}{3}\ge2t\Leftrightarrow9t^2+1\ge6t\Leftrightarrow\left(3t-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{3}\\x=y=z>0,xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
18 tháng 7 2017
\(VT=\frac{\left(x^3-x^2y\right)+\left(xy^2-y^3\right)}{x-y}=\frac{x^2\left(x-y\right)+y^2\left(x-y\right)}{x-y}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{x-y}=x^2+y^2\ge y^2\)
19 tháng 7 2017
Xét VT=\(=\frac{x^2\left(x-y\right)+y^2\left(x-y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{x-y}\\ =x^2+y^2\ge y^2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=0
25 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )
Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)
đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)
ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
25 tháng 5 2019
Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
Áp dụng ta được
\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))
Khi đó
\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1
Lưu ý
Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)
Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra
\(\Rightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)( luôn đúng vì x,y ko âm nên x+y >0)(đpcm)
chúc bn hok tốt