KT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TB
1
SL
11 tháng 5 2017
\(A=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
Áp dụng cô-si cho từng cặp là ok,,,,
Riêng cặp cuối \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2}\Leftrightarrow-\left(x+y\right)\ge-\sqrt{2}\)
HN
1
TN
22 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=x+\frac{4}{9x}+y+\frac{4}{9y}+\frac{5}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{9x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{4}{9y}}+\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{x+y}\)
\(\ge2\cdot\frac{2}{3}+2\cdot\frac{2}{3}+\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{\frac{4}{3}}=\frac{13}{3}\)
Khi \(x=y=\frac{2}{3}\)
22 tháng 2 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}\left(x+y-\frac{x+y}{2}\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{x+y}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" khi x = y = 1/2
20 tháng 1 2022
\(A=x+\frac{1}{y}+\frac{4}{x-y}\)
\(A=x-y+\frac{4}{x-y}+y+\frac{1}{y}\)
Do \(x>y\Leftrightarrow x-y>0\)nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(x-y\)và \(\frac{4}{x-y}\)
Ta được \(x-y+\frac{4}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{4}{x-y}}=4\)
Vì \(y>0\)nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(y\)và \(\frac{1}{y}\), ta có:
\(y+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{y.\frac{1}{y}}=2\)
Vậy \(A=x-y+\frac{4}{x-y}+y+\frac{1}{y}\ge4+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-y=\frac{4}{x-y}\\y=\frac{1}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=4\\y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=2\left(x-y>0\right)\\y=1\left(y>0\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}\)
Vậy GTNN của A là 6 khi \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}\)
4 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Minicopski ta có:
\(T=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\sqrt{\left(x^2+y\right)^2+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{1^2+\left(\frac{4}{x^2+y}\right)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{4}{1}\right)^2}=\sqrt{17}\)
Nên GTNN của T là \(\sqrt{17}\) khi \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 6 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P\geq (x^2+y^2)^2=\frac{1}{4}[(x^2+y^2)(1+1)]^2\geq \frac{1}{4}[(x+y)^2]^2=\frac{1}{4}(x+y)^4=\frac{1}{4}(\sqrt{10})^4=25$
Vậy $P_{\min}=25$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{\sqrt{10}}{2}$
29 tháng 8 2018
Vì x>0; y>0
Nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)
Nên \(\frac{1}{2}\ge2.\frac{1}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow4\le\sqrt{xy}\) (C)
Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}\)
Thế (C) vào ta được: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Vậy AMin = 4 khi và chỉ khi x = y
29 tháng 8 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=8\left(1\right)\)(bđt svacxo)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}>=4\Rightarrow2\sqrt{xy}>=8\left(2\right)\)(bđt cosi)
từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y>=8+8=16\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2>=16\)
mà \(\sqrt{x}>0;\sqrt{y}>0\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}>=4\)
dấu = xảy ra khi x=y=4
vậy min A là 4 khi x=y=4