Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\sqrt{\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)}\le\frac{x+y-z+y+z-x}{2}=y\)
\(\sqrt{\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)}\le\frac{y+z-x+z+x-y}{2}=z\)
\(\sqrt{\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)}\le\frac{x+y-z+z+x-y}{2}=x\)
Nhân theo vế suy ra đpcm. Dấu bằng khi tam giác đã cho là tam giác đều
Có BĐT phụ:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Áp dụng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{1}{xyz}\)
Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{2+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)\(\le3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}=xyz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
<=>27xyz=27(x+y+z)+54
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge27\left(x+y+z\right)+54\Rightarrow x+y+z\le6\)
\(4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le12\left(x+y+z\right)=9\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)\le9\left(x+y+z\right)+18=9\left(x+y+z+2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le9xyz\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\left(Q.E.D\right)\)
Từ giả thiết ta đặt ra: \(x+y+z=xyz\Rightarrow xy+yz+zx\ge\sqrt{3}a+b+c\ge9\) *
Ta lại có: \(x^2+5\ge5\sqrt{xyz}\)theo BĐT Cauchy
Từ đó BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+27\le4xy+yz+zx\Leftrightarrow a+b+c+27\le6\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}p=x+y+z\\q=xy+yz+zx\\r=xyz\end{cases}}\)
Thì ta có: \(p=r\)và cần chứng minh
\(6q\ge p^2+27\Leftrightarrow6pr\ge p^3+27p\)
Theo BĐT Schur thì: \(r\ge\frac{4pq-p^3}{9}\)
Do đó: \(BĐT\Leftrightarrow\frac{8}{3}q^2\ge\frac{3}{2}p^2+27\)
BĐT cuối cùng đúng theo Đk *
P/s: Tham khảo nhé
do x,y,z là các số dương nên
\(x^2-xy+y^2\ge xy\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
tương tự ta cũng có : \(y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\)
\(z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\Sigma\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\left(đpcm\right)\)
Ta có :
\(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{2+\sqrt{4\left(1+x^2\right)}}{2x}\le\frac{2+\frac{4+1+x^2}{2}}{2x}=\frac{9+x^2}{4x}\)
tương tự : \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{9+y^2}{4y}\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{9+z^2}{4z}\)
\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{\left(9+x^2\right)yz+\left(9+y^2\right)xz+\left(9+z^2\right)xy}{4xyz}\)
\(=\frac{9\left(xy+yz+xz\right)+xyz\left(x+y+z\right)}{4xyz}\le\frac{9\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(xyz\right)^2}{4xyz}=\frac{4\left(xyz\right)^2}{4xyz}=xyz\)
Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = \(\sqrt{3}\)
Lời giải:
Vì $x,y,z$ là 3 cạnh tam giác nên \(y+z-x; z+x-y; x+y-z>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu ta có:
\((y+z-x)(z+x-y)\leq \left(\frac{y+z-x+z+x-y}{2}\right)^2=z^2\)
\((y+z-x)(x+y-z)\leq \left(\frac{y+z-x+x+y-z}{2}\right)^2=y^2\)
\((z+x-y)(x+y-z)\leq \left(\frac{z+x-y+x+y-z}{2}\right)^2=x^2\)
Nhân theo vế và rút gọn ta thu được:
\((y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\leq xyz\) (đpcm)