Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
(Áp dụng bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y+z\right);\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(z+x\right)\)
Suy ra \(M\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
Vì \(xy+yz+xz=5\Rightarrow x^2+5=x^2+xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+5=(x+y)(x+z)\)
\(\Rightarrow \sqrt{6(x^2+5)}=\sqrt{6(x+y)(x+z)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{6(x+y)(x+z)}=\frac{\sqrt{6}}{2}.2\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(x+y+x+z)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{6(x^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(2x+y+z)\)
Thực hiện tương tự với các hạng tử còn lại suy ra:
\(\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(4x+2y+4z)=2\sqrt{6}(x+y+z)\)
\(\Rightarrow \frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}}\geq \frac{3(x+y+z)}{2\sqrt{6}(x+y+z)}=\frac{3}{2\sqrt{6}}\)
Vậy min bằng \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\frac{x\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{y}{9y^3+3z^2+x}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{y}{3}+xy}{\left(x+y+z\right)^2}\)(2); \(\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{z}{3}+yz}{\left(x+y+z\right)^2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\)\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(*)
Mặt khác, có: \(2017\left(xy+yz+zx\right)\le2017.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{2017}{3}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}+2017\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\le1+\frac{2017}{3}=\frac{2020}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(5\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\ge\sqrt{15}\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+3y^2+14xy}}=\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+2xy+3y^2+12xy}}\ge\frac{x^2}{\sqrt{9x^2+12xy+4y^2}}=\frac{x^2}{3x+2y}\)
\(A\ge sigma\frac{x^2}{3x+2y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{5}\ge\sqrt{\frac{3}{5}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
a, Sửa đề \(x+y+z\le2+xy\)
Áp dụng bđt Cô-si có :
\(\left(x+y\right)+z\le\frac{\left(x+y\right)^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}=\frac{x^2+2xy+y^2+1+z^2+1}{2}\)
\(=\frac{4+2xy}{2}\)
\(=2+xy\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
b,C/m tương tự câu a có \(x+y+z\le2+yz\)
\(x+y+z\le2zx\)
Ta có : \(P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
Le Tran Anh này, bạn biết làm không mà bảo ng khác ngu? Nếu biết thì giải đi...