Question

[Hoàng Giang]

Với các số thực dương x và y thỏa mãn x + y + xy = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3/(x + y) - xy

Answer 1

[Lê Song Phương]

 Ta có \(x+y+xy=3\Leftrightarrow-xy=x+y-3\). Khi đó \(P=\dfrac{3}{x+y}+x+y-3\)

 Đặt \(x+y=t\left(t>0\right)\). Khi đó: \(P=\dfrac{3}{t}+t-3\)

 Lại có  \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow3=x+y+xy\le\left(x+y\right)+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\) \(=t+\dfrac{t^2}{4}\)

 \(\Leftrightarrow t^2+4t\ge12\) \(\Leftrightarrow t\ge2\)

 Khi đó \(P=\dfrac{3}{t}+t-3=\dfrac{3}{t}+\dfrac{3}{4}t+\dfrac{t}{4}-3\) 

\(\ge2\sqrt{\dfrac{3}{t}.\dfrac{3}{4}t}+\dfrac{2}{4}-3\) (chú ý rằng \(t\ge2\)) 

\(=2.\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=2\\\dfrac{3}{t}=\dfrac{3}{4}t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=2\) \(\Leftrightarrow x+y=2\) \(\Rightarrow xy=1\)

\(\Rightarrow x=y=1\)

Vậy \(minP=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=1\)