DT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
13 tháng 10 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{c^2+a^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\right)\left(b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{a^2+c^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)
TN
9 tháng 7 2017
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
30 tháng 4 2015
bạn xem bài này tại đây:
http://d.violet.vn/uploads/resources/615/2779702/preview.swf
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2020
a/
\(VT\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}{a+b}+\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)^2}{b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(c+a\right)^2}{c+a}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ Ta có: \(x^4+y^4\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+y^2\right)\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+ca\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{1}{a+\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+\frac{1}{b}\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+\frac{1}{c}\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}\)
\(VT\le\frac{a+b+c}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{a+b+c}\le\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
N
15 tháng 9 2019
Dat \(P=\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\)
\(=\frac{a^6}{a^2b+ca^2}+\frac{b^6}{b^2c+ab^2}+\frac{c^6}{c^2a+bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)
Ta di chung minh:
\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
Ta co BDT:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)
\(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
Suy ra BDT da duoc chung minh
Dau '=' ra khi \(a=b=c\)
20 tháng 9 2019
Dat P=\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}P=b+ca4+c+ab4+a+bc4
=\frac{a^6}{a^2b+ca^2}+\frac{b^6}{b^2c+ab^2}+\frac{c^6}{c^2a+bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}=a2b+ca2a6+b2c+ab2b6+c2a+bc2c6≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(a3+b3+c3)2
Ta di chung minh:
\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2}ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(a3+b3+c3)2≥2a3+b3+c3
\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)⇔2(a3+b3+c3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
Ta co BDT:
a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)a3+b3≥ab(a+b)
b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)b3+c3≥bc(b+c)
c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)c3+a3≥ca(c+a)
\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)⇒2(a3+b3+c3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
Suy ra BDT da duoc chung minh
Dau '=' ra khi a=b=ca=b=c
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
BĐT cần c/m <=> a4+b4+c4 >/ abc(a+b+c)
Áp dụng bđt am-gm : a2+b2 >/ 2ab ; b2+c2 >/ 2bc ; c2+a2 >/ 2ca
=> 2(a2+b2+c2) >/ 2(ab+bc+ca) => a2+b2+c2 >/ ab+bc+ca
đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng bđt trên ta có:
a4+b4+c4=(a2)2+(b2)2+(c2)2 >/ a2b2+b2c2+c2a2 >/ (ab)2+(bc)2+(ca)2 >/ abc(a+b+c) (đpcm)