Đề thi tham khảo chuyên toán vào 10. Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1:
a) Giải phương trình: \(\frac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x-1}}\)
b) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{x^2+1}+y^2=3\\x+\frac{y}{\sqrt{1+x^2}+x}+y^2=0\end{cases}}\)
Câu 2:
a) Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(2^n+n=m!\)
b) Cho số tự nhiên \(n\ge2\).Biết rằng với mỗi số tự nhiên \(k\le\sqrt{\frac{n}{3}}\)thì \(k^2+k+n\)là một số nguyên tố. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên \(k\le n-2\)thì \(k^2+k+n\)là một số nguyên tố.
Câu 3:
a) Cho \(x\le y\le z\)thỏa mã điểu kiện\(xy+yz+zx=k\)với k là một số nguyên dương lớn hơn 1.
Hỏi bất đẳng thức sau đây đúng hay không: \(xy^2z^3< k+1?\)
b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(abc\le1\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{bc\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{ca\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Câu 4: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, A là điểm nằm ngoài đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. AB cắt đường tròn (O) tại F, AC đường tròn (O) tại E. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, N là trung điểm AH, AH cắt BC tại D, NB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Gọi K, L lần lượt là giao điểm AH với ME và MC.
a) Chứng minh: E, L, F thẳng hàng
b) Vẽ đường tròn (OQX) cắt OE tại Y với X,I,Q là giao điểm của đường thẳng qua H song song với ME và OF, NF,MC. Trên tia QY lấy điểm T sao cho QT=MK. Kẻ HT cắt NS tại J. Chứng minh tứ giác NJIH nội tiếp.
Câu 5: Cho m và n là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh tồn tại hai số nguyên dương x,y không vượt quá \(\sqrt{m}\) sao cho \(n^2x^2-y^2\)chia hết cho m.
Hết!
Đặt A = \(\frac{1}{6}\left(10^n+a+b\right)=\frac{1}{6}\left(10^n-2020+a+1+b+2019\right)\)
Vì \(\hept{\begin{cases}a+1⋮6\\b+2019⋮6\end{cases}\Rightarrow a+1+b+2019⋮6\Rightarrow\frac{1}{6}\left(a+1+b+2019\right)\inℕ}\)(1)
Để \(A\inℕ\Rightarrow10^n-2020⋮6\)
Nhận thấy 10n = (4 + 6)n = 4 +B(6)
=> 10n chia 6 dư 4
mà 2020 chia 6 dư 4
=> 10n - 2020 \(⋮\)6
=> \(\frac{1}{6}\left(10^n-2020\right)\inℕ\)(2)
Từ (1) và (2) => A \(\inℕ\)