Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(N=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=6^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1
Ta có đánh giá \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) \(\forall a:0< a< 3\)
Thật vật, biến đổi tương đương: \(\Leftrightarrow3+a^2\ge2a\left(3-a\right)\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\) ; \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)
Cộng vế với vế: \(N\ge2\left(a+b+c\right)=6\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
https://hoanghamaths.violet.vn/present/de-thi-hsg-vinh-tuong-2012-2013-8877603.html
bài cuối
neus ko hiểu mai mik ns cho h mik bận òi
Ta có \(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b+1}{ab}=1+\dfrac{1+1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)
Áp dụng bđt cosi ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}\ge8\Leftrightarrow1+\dfrac{2}{ab}\ge9\Leftrightarrow A\ge9\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b=0,5\)
Vậy GTNN của A là 9 và xảy ra khi a=b=0,5
\(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(A=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}\)
\(A=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}\)
Mà a+b=1
nên \(A=1+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)
Ta có:
a+b=1
Áp dụng bđt Cosi
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\)
Ta có:
\(A=1+\dfrac{2}{ab}\ge1+\dfrac{\dfrac{2}{1}}{4}=1+8=9\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\) \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số không âm ta có:
\(\frac{4a+1+1}{2}\ge\sqrt{4a+1}\Leftrightarrow\frac{4a+2}{2}\ge\sqrt{4a+1}\Leftrightarrow2a+1\ge\sqrt{4a+1}\)
Mà a>0 nên: \(2a+1>\sqrt{4a+1}\)
Tương tự với \(\sqrt{4b+1}\) và \(\sqrt{4c+1}\) ta có:
\(2b+1>\sqrt{4b+1};2c+1>\sqrt{4c+1}\)
=>\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}<2a+1+2b+1+2c+1\)
\(=2.\left(a+b+c\right)+3=2.1+3=5\)
=>điều phải chứng minh
ta có : áp dụng đẳng thức bunhiacopxki
ta có : \(\left(a+b\right).\left(1+1\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(\Rightarrow a+b\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) ( đpcm)