Question

[Nguyễn Huệ Lam]

Viết số 1995¹⁹⁹⁵ thành tổng của các số tự nhiên.

Tổng các lập phương của các số đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?

Answer 1

[Thiên An]

Đặt  \(P=1995^{1995}=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)  (với a₁, a₂, ..., a_n là các số tự nhiên và n là số tự nhiên khác 0)

và  \(S=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_n^3\)

Xét hiệu  

\(S-P=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+\left(a_3^3-a_3\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\)

\(=\left(a_1-1\right)a_1\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+\left(a_3-1\right)a_3\left(a_3+1\right)+...+\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\)

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2

=> Mỗi số hạng đều chia hết cho 6

=> \(\left(S-P\right)⋮6\)

Do đó muốn tìm số dư của S khi chia cho 6, ta chỉ cần tìm số dư của P khi chia cho 6

Lại có  \(P=1995^{1995}=\left(1995^3\right)^{665}\)    đồng dư với  \(3^{665}\)  (mod 6)

Mà  \(3^k\)  (với k là số tự nhiên khác 0) luôn chia 6 dư 3 => \(3^{665}\)  chia 6 dư 3

=> P chia 6 dư 3

=> S chia 6 dư 3.

p/s: Học toán với OnlineMath - Online Math có thể thêm kí hiệu đồng dư được không ạ?

Answer 2

[đặng minh phương]

Học liệu của ĐH Sư phạm Hà Nội