Question

[Hoàng Lê Minh]

Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ở O và ko vuông góc với nhau. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác BOC và AOD.

a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F LÀ giao điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các tam giác IFG và HFK đồng dạng.

b) Chứng minh rằng IG vuông góc với HK.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Bạn xem lại đề nhé ! Mình vẽ hình và thấy không đúng.

b) Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các đoạn AD,BC,BD. Lúc này ta có:

MP là đường trung bình của \(\Delta\)BAD, PN là đường trung bình của \(\Delta\)CBD

Suy ra \(\frac{PM}{PN}=\frac{2AB}{2CD}=\frac{AB}{CD}\)(1) . Gọi S,T lần lượt là giao điểm của AH,CK với BD

Ta thấy \(\Delta\)OSH ~ \(\Delta\)ASB (g.g) => \(\frac{OH}{AB}=\frac{OS}{AS}\). Tương tự \(\frac{OK}{CD}=\frac{TO}{TC}\)

Mà \(\frac{OS}{AS}=\frac{TO}{TC}\)(Hệ quả ĐL Thales) nên \(\frac{OH}{OK}=\frac{AB}{CD}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{OH}{OK}=\frac{PM}{PN}\) hay \(\frac{OH}{PM}=\frac{OK}{PN}\)

Mặt khác ^MPN = ^MPB + ^BPN = ^BDC + ^BDA + ^BAD = ^BAD + ^ADC = ^HOK

Từ đó \(\Delta\)HOK ~ \(\Delta\)MPN (c.g.c) => ^OKH = ^PNM. Lại có KO vuông góc PN và CD

=> ^PNM và ^OKH phụ với góc hợp bởi OK và MN. Do vậy MN vuông góc với HK

Dễ thấy O,I,M và O,G,N thẳng hàng. Đồng thời \(\frac{OI}{IM}=\frac{OG}{GN}=2\)=> IG // MN (ĐL Thales đảo)

Như vậy IG vuông góc HK (đpcm).