Question

[Razen]

Từ điểm M ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA;MB (A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD nằm giữa MA và MO. Gọi H là góc điểm MO và AB ; N là trung điểm CD.

a) C/m 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc 1 đường tròn

b) C/m MA^2=MH.MO

c) C/m NM là tia phân giác của ANB

d) Gọi S là giao điểm ON và BA; K là giao điểm MN và AB. C/m SB.AK=SA.KB

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

a, Ta có MA ; MB lần lượt là tiếp tuyến (O) 

=> ^MAO = ^MBO = 90⁰

Vì N là trung điểm CD => ON vuông CD 

Xét tứ giác OAMB có ^MAO + ^MBO = 180⁰

mà 2 góc này đối Vậy tứ giác OAMB là tứ giác nt 1 đường tròn 

Xét tứ giác NAMO có ^MAO = ^MNO = 90⁰

mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh MO 

Vậy tứ giác NAMO là tứ giác nt 1 đường tròn 

mà 2 tứ giác này cùng chứ tam giác OAM 

Vậy M;A;N;O;B nt 1 đường tròn 

b, Ta có MA = MB ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) ; OA = OB 

Vậy OM là đường trung trực đoạn AB 

Xét tam giác MAO vuông tại A có AH là đường cao 

AM^2 = MH.MO ( hệ thức lượng ) 

c, Xét 5 điểm M;A;N;O;B nt 1 đường tròn có 

^MNA = ^MBA ( góc nt chắn cung AM ) 

^MNB = ^MAB ( góc nt chắn cung MB ) 

mà MA = MB ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

=> MAB cân tại M => ^MAB = ^MBA 

=> ^ANM = ^MNB 

=> NM là phân giác ^ANB 

d, Ta có NK là pg của ^ANB nên \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{NA}{NB}\)

Lại có NK vuông NS => NS là pg ngoài tam giác ANB \(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{NA}{NB}\)

\(\Rightarrow AK.SB=SA.KB\)