Question

[Wolf 2k6 has been cursed]

từ điểm M nằm ngài đường tròn O sao cho OM>2R  vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB ( A,B là tiếp điểm ) gọi I là trung điểm AM ,BI căt đường tròn O tại C , tia CM cắt đường tròn O tại D

A/ chứng minh : OM vuông góc AB tại H và IA^2 = IB.IC

B/Chứng minh BD// AM

C/ chứng minh tứ giác AHCI nội tiếp và tia CA là tia phân giác của góc ICD

thank 3333

Answer 1

[Linh Linh]

a. OM là đường trung trực của AB

⇒AM⊥AB tại H

xét ΔIAC và ΔIBA có

∠I chung

∠A=∠B=90

⇒ΔIAC ∼ ΔIBA (g.g)

⇒IA²=IB.IC

Answer 2

[An Thy]

a) Vì MA,MB là tiếp tuyến \(\Rightarrow MA=MB\) và MO là phân giác \(\angle AMB\)

\(\Rightarrow OM\bot AB\)

Xét \(\Delta ICA\) và \(\Delta IAB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle IAC=\angle IBA\\\angle BIAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ICA\sim\Delta IAB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{IA}{IB}\Rightarrow IA^2=IB.IC\)

b) Ta có: \(IM^2=IA^2=IB.IC\Rightarrow\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{IC}{IM}\)

Xét \(\Delta ICM\) và \(\Delta IMB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{IC}{IM}\\\angle BIMchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ICM\sim\Delta IMB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle IMC=\angle IMB=\angle BDC\)

\(\Rightarrow AM\parallel BD\)

c) Xét \(\Delta ABM\),có I là trung điểm MA,H là trung điểm AB

\(\Rightarrow IH\) là đường trung bình \(\Delta ABM\)\(\Rightarrow IH\parallel AB\)

\(\Rightarrow\angle CIH=\angle IBM=\angle CAH\Rightarrow CHAI\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle ACI=\angle AHI=\angle ABM=\angle BAM=\angle ABD\) \((AM\parallel BD)\) 

\(=\angle ACD\)

\(\Rightarrow CA\) là phân giác