Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì AB là tiếp tuyến (O)
=> AB⊥OB
=> ABOˆABO^=900=900
Vì AC là tiếp tuyến (O)
=> AC⊥OC
=>ACOˆACO^ =900=900
Ta có: ABOˆ+ACOˆABO^+ACO^ =900+900=1800=900+900=1800
=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A
⇒{AB=ACBO=CO⇒{AB=ACBO=CO
⇒⇒ AO là đường trung trực ứng BC
⇒⇒ AO⊥BC ( mà E∈BC)
⇒⇒ BE⊥AO (đpcm)
Xét ΔABO có: ABOˆABO^ =900=900 (cmtrn)
BE⊥AO (cmtrn)
⇒⇒ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
⇒⇒ AO⋅OE=OB2AO⋅OE=OB2 (mà OB=R)
⇒OA⋅OE=R2⇒OA⋅OE=R2 (đpcm)
c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P
⇒PB=PK⇒PB=PK
Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q
⇒KQ=QC⇒KQ=QC
Ta có: PAPQ=AP+PQ+AQPAPQ=AP+PQ+AQ =AP+PK+KQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ
⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)
⇔PAPQ=AB+AC⇔PAPQ=AB+AC
Vì AB+ACAB+AC không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
⇒⇒ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).
d) Tự CM: ΔMOP∼ΔNQOΔMOP∼ΔNQO
⇒MPNO=MONQ⇒MPNO=MONQ ⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2
⇔MP⋅NQ=MN24⇔MP⋅NQ=MN24
⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)
⇔MN=2⋅MN⋅NQ−−−−−−−−√⇔MN=2⋅MN⋅NQ
Áp dụng bđt Côshi ta có:
2⋅MP⋅NQ−−−−−−−−√≤MP+NQ2⋅MP⋅NQ≤MP+NQ
⇔MN≤MP+NQ⇔MN≤MP+NQ (đpcm).
a: Sửa đề: MK\(\perp\)AB
Xét tứ giác BIMK có \(\widehat{BIM}+\widehat{BKM}=90^0+90^0=180^0\)
nên BIMK là tứ giác nội tiếp
=>B,I,M,K cùng thuộc một đường tròn
b: Xét tứ giác IMHC có \(\widehat{MIC}+\widehat{MHC}=90^0+90^0=180^0\)
nên IMHC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MHI}=\widehat{MCI}\)(1)
Ta có: BIMK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MIK}=\widehat{MBK}\left(2\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
\(\widehat{MBK}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BK và dây cung BM
Do đó: \(\widehat{MCB}=\widehat{MBK}=\widehat{MCI}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{MIK}=\widehat{MHI}\)
Ta có: BIMK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MKI}=\widehat{MBI}=\widehat{MBC}\left(4\right)\)
Ta có: IMHC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MIH}=\widehat{MCH}\left(5\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC
\(\widehat{MCH}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CH và dây cung CM
Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MCH}\left(6\right)\)
Từ (4),(5),(6) suy ra \(\widehat{MIH}=\widehat{MKI}\)
Xét ΔMIH và ΔMKI có
\(\widehat{MIH}=\widehat{MKI}\)
\(\widehat{MHI}=\widehat{MIK}\)
Do đó: ΔMIH~ΔMKI
=>\(\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MH}{MI}\)
=>\(MI^2=MH\cdot MK\)
a) Xét tứ giác ABOC: ^ABO=^ACO=900 (Do AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O))
=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn dường kính AO (1)
Ta có: DE là dây cung của (O), I là trung điểm DE => OI vuông góc DE => ^OIA=900
Xét tứ giác ABOI: ^ABO=^OIA=900 => Tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính AO (2)
(1) + (2) => Ngũ giác ABOIC nội tiếp đường tròn
Hay 4 điểm B;O;I;C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).
b) Gọi P là chân đường vuông góc từ D kẻ đến OB
Ta có: Tứ giác BOIC nội tiếp đường tròn => ^ICB=^IOP (Góc ngoài tại đỉnh đối) (3)
Dễ thấy tứ giác DIPO nội tiếp đường tròn đường kính OD
=> ^IOP=^IDP (=^IDK) (4)
(3) + (4) => ^ICB=^IDK (đpcm).
c) ^ICB=^IDK (cmt) => ^ICH=^IDH => Tứ giác DHIC nội tiếp đường tròn
=> ^DIH=^DCH hay ^DIH=^DCB.
Lại có: ^DCB=^DEB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD) => ^DIH=^DEB
Mà 2 góc trên đồng vị => IH // EB hay IH // EK
Xét tam giác KDE: I là trung điểm DE (Dễ c/m); IH // EK; H thuộc DK
=> H là trung điểm DK (đpcm).