Question

[Pi Pé]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC (C, B là tiếp điểm) của (O;R), OA cắt BC tại H.
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn, xác định tâm của đường tròn đó.
b) Kẻ các tuyến AMN (M nằm giữa A và N, MN không đi qua điểm O). Chứng minh: AH.AO = AM.AN
c) Gọi K là trung điểm của MN, OK cắt BC tại P. Chứng minh : \(\widehat{OCK}\) = \(\widehat{OBK}\) .

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Tâm là trug điểm của AO

b: Xét (O) có

AB là tiếp tuýen

AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
mà OB=OC

nên OA là đường trung trực của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABM và ΔANB có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đo; ΔABM\(\sim\)ΔANB

Suy ra: AB/AN=AM/AB

hay \(AB^2=AN\cdot AM\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot AO=AM\cdot AN\)