Question

[王俊凯]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ các tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp điểm).

1/Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2/Vẽ cát tuyến ACD không đi qua tâm O của đường tròn đó sao cho điểm C nằm giữa hai điểm A và D. Tiếp tuyến tại điểm C và điểm D của đường tròn cắt nhau tại điểm B.Gọi H là giao điểm của AO và MN, K là giao điểm của CD và OB. Chứng minh rằng OH.OA =OK.OB

3/Chứng minh rằng ba điểm M,N, B thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét tứ giác AMON có góc AMO+góc ANO=180 độ

nên AMON là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

AM là tiếp tuyến

AN là tiếp tuyến

Do đo:AM=AN

mà OM=ON

nên OA là đường trung trực của MN

=>OA\(\perp\)MN

Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OM^2=R^2\left(1\right)\)

Xét (O) có

BM là tiếp tuyến

BD là tiếp tuyến

Do đó: BM=BD

mà OD=OM

nên OB là đường trung trực của MD

Xét ΔOMB vuông tại M có MK là đường cao

nên \(OK\cdot OB=OM^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(OK\cdot OB=OH\cdot OA\)