Question

[Văn Quyết]

trong mp oxy cho tam giac ABC vuông tại A có 4AB=3AC. Gọi E(0;-2) là chân đường phân giác trong góc ABC, biết phương trình BC : 3x+4y-7=0. Tìm tọa độ điểm A

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt \(AB=3x\Rightarrow AC=4x\Rightarrow BC=\sqrt{9x^2+16x^2}=5x\)

Theo tính chất phân giác: \(\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{BC}\Rightarrow\frac{AE}{3x}=\frac{CE}{5x}\Rightarrow AE=\frac{3}{5}CE\)

\(\Rightarrow CE+\frac{3}{5}CE=4x\Rightarrow CE=\frac{5}{2}x\)

Gọi H là hình chiếu của E lên BC \(\Rightarrow EH\) nhận \(\overrightarrow{n_{EH}}=\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình EH: \(4x-3y-6=0\)

Toạ độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-7=0\\4x-3y-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{9}{5};\frac{2}{5}\right)\)

Do \(\Delta CHE\sim\Delta CAB\Rightarrow\frac{CH}{CA}=\frac{CE}{BC}\Rightarrow CH=\frac{CE.AC}{BC}=\frac{\frac{5}{2}x.4x}{5x}=2x\)

\(\Rightarrow CH=\frac{2}{3}HB\Rightarrow\overrightarrow{CH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HB}\)

Gọi \(C\left(c;\frac{7-3c}{4}\right)\); do \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{EA}=\frac{3}{5}\overrightarrow{CE}\\\overrightarrow{CH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HB}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(-\frac{3}{5}c;\frac{9c-85}{20}\right)\\B\left(\frac{9-3c}{2};\frac{-43+45c}{40}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{45-9c}{10};\frac{27c-127}{40}\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(\frac{8c}{5};\frac{60-9c}{10}\right)\end{matrix}\right.\)

\(AB\perp AC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow\frac{8c\left(45-9c\right)}{50}+\frac{\left(27c-127\right)\left(60-9c\right)}{400}=0\)

Giải pt này sẽ xong bài toán, xấu quá :(

Answer 2

[Văn Quyết]

à số xấu là đúng rồi