Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)
Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)
H là chân đường cao kẻ từ B
\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)
Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)
\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:
\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)
Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N
Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N
\(\Rightarrow\) Phương trình AN
Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt
\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)
\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN
Do C thuôc trục hoành nên tọa độ có dạng \(C\left(c;0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c+2;-4\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(c-8;-4\right)\end{matrix}\right.\)
Do tam giác ABC vuông tại C \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\)
\(\Rightarrow\left(c+2\right)\left(c-8\right)+16=0\)
\(\Rightarrow c^2-6c=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=0\\c=6\end{matrix}\right.\)
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là \(C\left(0;0\right)\) và \(C\left(6;0\right)\)
Do C thuộc trục tung nên tọa độ có dạng \(C\left(0;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;-1\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-1;c-2\right)\end{matrix}\right.\)
Do tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Rightarrow4-\left(c-2\right)=0\Rightarrow c=6\)
\(\Rightarrow C\left(0;6\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(-1;4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{17}\\AC=\sqrt{\left(-1\right)^2+4^2}=\sqrt{17}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{17}{2}\)
Đường tròn có tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=2\)
\(IA=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(-3+2\right)^2}=1< 2\Rightarrow A\) nằm phía trong đường tròn
Gọi M là điểm bất kì thuộc đường tròn (C) và CD là đường kính đi qua A (với A nằm giữa I và C)
Áp dụng BĐT tam giác cho tam giác AIM ta có: \(AM\le IA+IM\)
Mà \(IM=ID=R\Rightarrow AM\le IA+ID=AD\)
\(\Rightarrow AM_{max}=AD\) với D là giao điểm của đường thẳng IA và đường tròn (I nằm giữa A và D)
\(\overrightarrow{AI}=\left(0;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng IA có 1 vtpt \(\overrightarrow{n}=\left(1;0\right)\)
Phương trình IA: \(1\left(x-1\right)+0\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x-1=0\)
Tung độ giao điểm của IA và đường tròn:
\(1+y^2-2+4y+1=0\Rightarrow y^2+4y=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-4\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(M\left(1;0\right)\)
\(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=10\) tâm \(I\left(1,2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)
Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AI\) vuông góc với \(BC\), \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(AI=2d\left(I,BC\right)\Rightarrow d\left(I,BC\right)=\dfrac{AI}{2}=\dfrac{R}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\).
Ta có: \(AI\) đi qua \(A\left(0,-1\right)\) và \(I\left(1,2\right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(AI\) là \(3x-y-1=0\) suy ra \(BC\): \(x+3y+c=0\)
\(d\left(I,BC\right)=\dfrac{\left|1+3.2+c\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{\left|c+7\right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\\c=-12\end{matrix}\right.\)
Với \(c=-12\): \(BC:x+3y-12=0\)
\(\left(0-3-12\right)\left(1+2.3-12\right)>0\) nên \(A,I\) nằm cùng phía so với \(BC\) (loại).
Vậy \(c=-2\): \(BC:x+3y-2=0\)
Tọa độ hai điểm \(B,C\) chính là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và đường tròn \(\left(C\right)\).
\(x+3y-2=0\Leftrightarrow x=2-3y\)
\(\left(2-3y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=10\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1-3\sqrt{3}}{2}\\y=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1+3\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có tọa độ hai điểm \(B,C\).