Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
hệ pt tương đương\(\left\{{}\begin{matrix}2x-2y+3z+2x-y-z-t=1\\-3x+4y+z+4x-2y-2z-2t=5\\x+y+z=6\\2x-y-z-t=3\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-2y+3z+3=1\\-3x+4y+z+6=5\\x+y+z=6\\2x-y-z-t=3\end{matrix}\right.\) bây h ta xét hệ3pt 3 ẩn
\(\left\{{}\begin{matrix}-x-5y+3x+3y+3z=-2\\-4x+3y+x+y+z=-1\\x+y+z=6\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}-x-5y+18=-2\\-4x+3y+6=-1\\x+y+z=6\end{matrix}\right.\)
đến đây còn lại 2 pt 2 ẩn, để dành bạn đọc chứng minh nhé
1/ \(P=\frac{1}{x+y+x+z}+\frac{1}{x+y+y+z}+\frac{1}{x+z+y+z}\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
2/ ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow4x^2-8x\sqrt{x+1}+3\left(x+1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-\sqrt{x+1}\right)\left(2x-3\sqrt{x+1}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\ge\sqrt{x+1}\\2x\le3\sqrt{x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\4x^2-x-1\ge0\\4x^2-9x-9\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{-1+\sqrt{17}}{8}\le x\le3\)
\(\Rightarrow x=\left\{1;2;3\right\}\Rightarrow\sum x^2=1+4+9=14\)
Đáp án B