Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ \(\overrightarrow{AI}=\left(1;1;-3\right)\)
Do (P) tiếp xúc với (S) tại A \(\Rightarrow AI\perp\left(P\right)\Rightarrow\left(P\right)\) nhận \(\overrightarrow{AI}\) là một vtpt
\(\Rightarrow\) phương trình (P):
\(1\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)-3\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-3z+3=0\)
2/ \(\overrightarrow{u_d}=\left(2;-1;4\right)\) ; \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;0;0\right)\)
Gọi A là giao điểm của d và (P) có pt \(x+3=0\)
\(\Rightarrow x_A=-3\) (suy từ pt (P)); \(y_A=-3;z_A=-5\) (thay \(x_A\) vào pt d) \(\Rightarrow A\left(-3;-3;-5\right)\)
Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc (P) \(\Rightarrow\left(Q\right)\) chứa A và (Q) có 1 vtpt là \(\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(0;4;1\right)\)
\(\Rightarrow\) pt (Q): \(0\left(x+3\right)+4\left(y+3\right)+1\left(z+5\right)=0\Leftrightarrow4y+z+17=0\)
Gọi \(d'\) là hình chiếu của d lên (P) \(\Rightarrow\) \(d'\)có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u_{d'}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]=\left(0;-1;4\right)\) và \(d'\) qua A
\(\Rightarrow\) pt đường thẳng \(d':\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3+0.t\\y=-3+\left(-1\right).t\\z=-5+4.t\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3-t\\z=-5+4t\end{matrix}\right.\) (1)
Đến đây thì đừng bối rối vì không thấy đáp án, vì việc viết pt tham số của đường thẳng sẽ ra các kết quả khác nhau khi ta chọn điểm khác nhau (một đường thẳng chứa vô số điểm vì thế cũng có vô số cách viết 1 pt tham số của đường thẳng)
Kiểm tra đáp án chính xác bằng cách loại trừ, đầu tiên nhìn vào vecto chỉ phương \(\left(0;-1;4\right)\) \(\Rightarrow\) loại đáp án B và C
Đáp án A họ sử dụng điểm có tọa độ \(\left(-3;-5;-3\right)\) để viết, thay thử 3 tọa độ này vào hệ (1), dòng 2 cho \(-5=-3-t\Rightarrow t=2\) ; dòng 3 cho \(-3=-5+4t\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\ne2\). Vậy A sai nốt, D là đáp án đúng (bạn có thể thay tạo độ \(\left(-3;-6;7\right)\) vào (1) sẽ thấy đúng)
3/ Gọi \(d\) đi qua A vuông góc \(\left(P\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;3;-1\right)\Rightarrow\) chọn \(\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;3;-1\right)\) là 1vecto chỉ phương của d
\(\Rightarrow\) pt tham số d có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=3+3t\\z=-t\end{matrix}\right.\) (2)
Lại giống câu trên, họ chọn 1 điểm khác để viết, nhưng câu này thì loại trừ đơn giản hơn vì chi có đáp án B là đúng vecto chỉ phương, chọn luôn ko cần suy nghĩ
Nếu ko tin, thay thử điểm \(\left(1;0;1\right)\) trong câu B vào (2)
Dòng 1 cho \(1=2+t\Rightarrow t=-1\)
Dòng 2 cho \(0=3+3t\Rightarrow t=-1\)
Dòng 3 cho \(1=-t\Rightarrow t=-1\)
3 dòng cho 3 giá trị t giống nhau, vậy điểm đó thuộc d \(\Rightarrow\) đáp án đúng
a) Đường thẳng d đi qua M1( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương (2 ; 3 ; 4).
Đường thẳng d' đi qua M2( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương (1 ; -4 ; 1).
Ta có = (19 ; 2 ; -11) ;
= (8 ; 1 ; 14)
và = (19.8 + 2 - 11.4) = 0
nên d và d' cắt nhau.
Nhận xét : Ta nhận thấy ,
không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.
b) Ta có : (1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và
(2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy và
cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M d' nên d và d' song song.
a) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) = 0
⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3.
Tức là d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2).
Trong trường hợp này d cắt (α) tại điểm M.
b) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0
⇔ 0.t + t = 9, phương trình vô nghiệm.
Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau., ta có d // (α).
c) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + 1) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0
⇔ 0t + 0 = 0,phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ d ⊂ (α) .
Câu 2)
Giả sử tồn tại MP cố định đó. Gọi PTMP mà \((d_k)\) luôn đi qua là
\((P):a(x-3)+b(y+1)+c(z+1)=0\) $(1)$
Ta chỉ cần xác định được \(a,b,c\) nghĩa là đã chứng minh được sự tồn tại của mặt phẳng cố định đó.
Vì \(d_k\in (P)\forall k\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_P}\)
\(\Rightarrow a(k+1)+b(2k+3)+c(1-k)=0\) với mọi $k$
\(\Leftrightarrow k(a+2b-c)+(a+3b+c)=0\) với mọi $k$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+2b-c=0\\ a+3b+c=0\end{matrix}\right.\)
Từ đây ta suy ra \(a=\frac{-5b}{2}\) và \(c=\frac{-b}{2}\)
Thay vào \((1)\) và triệt tiêu \(b\) (\(b\neq 0\) bởi vì nếu không thì \(a=c=0\) mặt phẳng không xác định được)
\(\Rightarrow (P): -5x+2y-z+16=0\)
\((d_k)\parallel (6x-y-3z-13=0(1),x-y+2z-3=0(2))\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_1},\overrightarrow{n_2}\)\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]\)
Mà \(\overrightarrow{n_1}=(6,-1,-3);\overrightarrow{n_2}=(1,-1,2)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel(-5,-15,-5)\) hay \(\frac{k+1}{-5}=\frac{2k+3}{-15}=\frac{1-k}{-5}\Rightarrow k=0\)
Câu 1 mình đặt ẩn nhưng dài quá nhác viết, với lại mình thấy nó không hay và hiệu quả. Mình nghĩ với cách cho giá trị AB,CD cụ thể thế kia thì chắc chắn có cách nhanh gọn hơn. Nếu bạn có lời giải rồi thì post lên cho mình xem ké với.
6.
d nhận \(\left(2;-1;-3\right)\) là 1 vtcp
7.
Phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d nhận \(\left(3;2;-1\right)\) là 1 vtpt có dạng:
\(3\left(x-4\right)+2\left(y+3\right)-1\left(z-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x+2y-z-4=0\)
Pt tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+3t\\y=-2+2t\\z=-t\end{matrix}\right.\)
A' là giao điểm d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:
\(3\left(-2+3t\right)+2\left(-2+2t\right)+t-4=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow A'\left(1;0;-1\right)\)
8.
Tọa độ H là \(H\left(0;2;0\right)\) (giữ tung độ, thay hoành độ và cao độ bằng 0 là xong)
4.
\(\left(1+e^x\right)x=\left(1+e\right)x\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Diện tích:
\(S=\int\limits^1_0\left[\left(1+e\right)x-\left(1+e^x\right)x\right]dx\)
\(=\int\limits^1_0e.xdx-\int\limits^1_0x.e^xdx\)
\(=\left(\frac{1}{2}e.x^2-\left(x-1\right)e^x\right)|^1_0=\frac{e}{2}-1=\frac{e-2}{2}\)
5.
Do 3 điểm A;B;C lần lượt thuộc 3 trục tọa độ nên mặt cầu đi qua 4 điểm có tâm \(I\left(\frac{1}{2};-1;2\right)\)
\(R=IA=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-1\right)^2+2^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\)
Phương trình:
\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-2\right)^2=\frac{21}{4}\)
Lần sau em đăng bài ở học 24 để mọi người giúp đỡ em nhé!
Link đây: Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến
1. Gọi I là tâm của mặt cầu cần tìm
Vì I thuộc d
=> I( a; -1; -a)
Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng (p), (Q). nên ta co:
d(I; (P))=d(I;(Q))
<=> \(\frac{\left|a+2\left(-1\right)+2\left(-a\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left|a+2\left(-1\right)+2\left(-a\right)+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|-a+1\right|}{3}=\frac{\left|-a+5\right|}{3}\Leftrightarrow a=3\)
=> I(3; -1; -3) ; bán kinh : R=d(I; P)=2/3
=> Phương trình mặt cầu:
\(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+3\right)^2=\frac{4}{9}\)
đáp án C.
2. Gọi I là tâm mặt cầu: I(1; -1; 0)
Ta có: Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc vs mặt Cầu S tại M
=> IM vuông góc vs mặt phẳng (P)
=> \(\overrightarrow{n_p}=\overrightarrow{MI}=\left(1;0;0\right)\)
=> Phương trình mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến: \(\overrightarrow{n_p}\)và qua điểm M
1(x-0)+0(y+1)+0(z-0) =0<=> x=0
đáp án B
3.
\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{256}\left(2x+3\right)^{10}=\dfrac{1}{256} \sum \limits_{k=0} ^{10}C_{k}^{10}(2x)^k.3^{10-k}\)
Để có hệ số x^8 thì k=8 khi đó hệ số của x^8 là:
\(\dfrac{1}{256}C_{8}^{10}.2^8.3^{10-8}=405\)
đáp án D
4.
pt <=> \(\left(2.5\right)^{x^2-3}=10^{-2}.10^{3x-3}\)
\(\Leftrightarrow10^{x^2-3}=10^{3x-5}\)
\(\Leftrightarrow x^2-3=3x-5\Leftrightarrow x^2-3x+5=0\)
=> theo định lí viet tổng các nghiệm bằng 3, tích các nghiệm bằng 5
Đáp án A
a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P) ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).
Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ; vectơ (0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của (Oxy), khi đó
và
( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
= (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0
hay 2x - y - 7 = 0.
Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:
Điểm M0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương của ∆ vuông góc với
và vuông góc với
, vậy có thể lấy
= (1 ; 2 ; 0).
Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:
.
Chú ý :
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:
Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.
Chẳng hạn lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của
M1 trên (Oxy) là N1 (2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oxy) là N2(0 ; -7 ; 0).
Đườn thẳng ∆ qua N1, N2 chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oxy).
Ta có : (-2 ; -4 ; 0) //
(1 ; 2 ; 0).
Phương trình tham số của ∆ có dạng:
.
b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.
lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của
M1 trên (Oxy) là M'1 (0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oyz) là chính nó.
Đườn thẳng ∆ qua M'1, M2 chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).
Ta có: (0 ; -4 ; -6) //
(0 ; 2 ; 3).
Phương trình M'1M2 có dạng:
.
a) Gọi \(\overrightarrow{u}\left(1;-2;-1\right)\) là vectơ chỉ phương của d, giả sử \(\overrightarrow{v}\left(a;b;c\right)\) là 
Đáp án D