Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài giải:
Các tam giác vuông AEH, BFC, CGF, DHG có:
AE = BF = CG = DH (gt)
Suy ra AH = BE = CF = DG
Nên ∆AEH = ∆BFE = ∆CGF = ∆DHG (c.g.c)
Do đó HE = EF = FG = GH (1)
và ˆEHAEHA^ = ˆFEBFEB^
Ta có ˆHEFHEF^ = 1800 - (ˆHEAHEA^ + ˆFEBFEB^) = 1800 - (ˆHEAHEA^ + ˆEHAEHA^)
= 1800 - 900 = 900 (2)
Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình vuông
Các tam giác vuông AEH, BFC, CGF, DHG có:
AE = BF = CG = DH (gt)
Suy ra AH = BE = CF = DG
Nên ∆AEH = ∆BFE = ∆CGF = ∆DHG (c.g.c)
Do đó HE = EF = FG = GH (1)
và ˆEHAEHA^ = ˆFEBFEB^
Ta có ˆHEFHEF^ = 1800 - (ˆHEAHEA^ + ˆFEBFEB^) = 1800 - (ˆHEAHEA^ + ˆEHAEHA^)
= 1800 - 900 = 900 (2)
Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình vuông.
Hướng chung (các bước thường dùng)
- Xác định các tam giác vuông: Tìm các tam giác có một cạnh là nửa đường chéo, là trung tuyến, hoặc là một đường thẳng vuông góc được cho — dùng tính chất vuông/góc 45° (trong hình vuông) để kết luận các góc bằng nhau.
- Chứng minh 3 góc vuông của tứ giác \(E F G H\):
- Nếu bạn tìm được ba nghiệm của dạng “hai đoạn thẳng giao nhau vuông góc” tại ba đỉnh khác nhau, ghi lại lý do (ví dụ: hai đường là tiếp tuyến với cùng một đường tròn, hoặc là hai đường thẳng lần lượt song song/vuông góc với hai cạnh vuông góc của \(A B C D\)).
- Dùng quan hệ góc trong tam giác (tổng góc = \(180^{\circ}\)) để suy ra góc thứ tư nếu cần.
- Chứng minh \(H E = H G\): So sánh hai tam giác có chung cạnh/đồng dạng/đồng cạnh — thường dùng: nếu hai tam giác cân (có hai góc bằng nhau) hoặc đường trung trực, hoặc tia phân giác, thì hai cạnh tương ứng bằng nhau.
- Chứng minh \(A B C D\) là hình vuông (nếu chưa biết):
- Nếu biết \(A B \parallel C D\) và \(B C \parallel A D\) cộng thêm \(A B = B C\) hoặc một góc vuông, suy ra là hình chữ nhật có hai cạnh bằng → hình vuông.
- Hoặc chứng minh 4 góc đều \(90^{\circ}\) (qua tính song song/vuông góc) và một cặp cạnh bằng độ dài → hình vuông.
Ví dụ mẫu (nếu \(E , F , G , H\) là trung điểm các cạnh lần lượt của \(A B , B C , C D , D A\))
- a) Tứ giác \(E F G H\) là hình vuông (thế nên có 4 góc vuông chứ không phải chỉ 3): vì \(E F \parallel A D\) và \(F G \parallel A B\) nên \(E F \bot F G\), v.v.
- b) \(H E = H G\): do đối xứng theo tâm hình vuông (các đoạn nối tâm đến các trung điểm bằng nhau).
- c) \(A B C D\) là hình vuông: đây là giả thiết trong ví dụ này.
Ta có \(\widehat A = \widehat {{D_1}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.
Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.
Mặt khác hình thang ABCD có \(\widehat A = \widehat B\) nên ABCD là hình thang cân.
Do đó AD = BC (đpcm).
Cả ba tứ giác là hình bình hành.
- Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có
AB // CD và AB = CD =3 (dấu hiệu nhận biết 3)
- Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có
EH // FG và EH = FH = 3 (dấu hiệu nhận biết 3)
- Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có MN = QP và MQ = NP (dấu hiệu nhận biết 2)
* Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD) ta có:
• \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{D}}B} = {40^o}\)
• \(\widehat A + \widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}B} = {180^o}\)
Suy ra \(\widehat A\)=180°−\(\widehat {AB{\rm{D}}}\)−\(\widehat {A{\rm{D}}B}\)=180°−40°−40°=100°
Ta có \(\widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {B{\rm{D}}C}\)=120° suy ra \(\widehat {B{\rm{D}}C}\)=120°−\(\widehat {A{\rm{D}}B}\)=120°−40°=80°.
* Xét tam giác BCD cân tại C (vì BC = CD) ta có:
• \(\widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}B}\)=80°
• \(\widehat C + \widehat {CB{\rm{D}}} + \widehat {C{\rm{D}}B}\)=180°
Suy ra \(\widehat C\)=180°−\(\widehat {CB{\rm{D}}} - \widehat {C{\rm{D}}B}\)=180°−80°−80°=20°
Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {CB{\rm{D}}}\)=40°+80°=120o
Vậy số đo các góc của tứ giác ABCD là \(\widehat A = {100^o};\widehat {ABC} = {120^o};\widehat C = {20^o}\)
Bài giải:
Để xét xem tứ giác nào là hình thang cân ta dùng tính chất
"Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau"
Tứ giác ABCD là hình thang cân vì có AD = BC.
Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH.
Để xét xem tứ giác nào là hình thang cân ta dùng tính chất
"Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau"
Tứ giác ABCD là hình thang cân vì có AD = BC.
Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH.
Xét tứ giác EFGH có:
\(\) \(\widehat E + \widehat F + \widehat G + \widehat H = {360^o}\)(định lí tổng các góc trong một tứ giác).
Hay \({90^o} + \widehat F + {90^o} + {55^o} = {360^o}\)
Suy ra \(\widehat F\)+235°=360°
Do đó \(\widehat F\)=360°−235°=125°
Vậy \(\widehat F\)=125o
a) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA\); \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \)
Mà \(AE = BF = CG = HD\) (gt) suy ra \(BE = CF = DG = AH\)
Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta DHG\) ta có:
\(\widehat {\rm{A}} = \widehat {\rm{D}} = 90\)
\(AE = GH\) (gt)
\(AH = DG\) (gt)
Suy ra \(\Delta AEH = \Delta DHG\) (c-g-c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AEH}}} = \widehat {{\rm{DHG}}}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AEH} + \widehat {AHE} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {DHG} + \widehat {AHE} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {EHG} = 90^\circ \)
Chứng minh tương tự ta được \(\widehat {HGF} = 90^\circ ;\;\widehat {GFE} = 90^\circ \)
Vậy tứ giác \(EFGH\) là một góc vuông
b) Vì \(\Delta AEH = \Delta DHG\) (cmt)
Suy ra \(HE = HG\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(EFGH\) là hình vuông
c) chứng minh tương tự câu b ta có: \(HE = EF\); \(HE = FG\)
Khi đó \(EFGH\) có \(HE = HG = EF = FG\) nên là hình thoi (3)
Tứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(EFGH\) là hình vuông