Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x M = x B + x C 2 y M = y B + y C 2 ⇔ x B = 2 x M − x C = 2.2 − ( − 2 ) = 6 y B = 2 y M − y C = 2.0 − ( − 4 ) = 4 ⇒ B ( 6 ; 4 )
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:
x G = x A + x B + x C 3 y G = y A + y B + y C 3 ⇔ x A = 3 x G − x B − x C = 3.0 − 6 − ( − 2 ) = − 4 y A = 3 y G − y B − y C = 3.4 − 4 − ( − 4 ) = 12 ⇒ A ( − 4 ; 12 )
Đáp án C
a)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;4 - 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 3 - 1;2 - 3} \right) = \left( { - 4; - 1} \right)\)
Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{1}{{ - 1}}\)).
Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\)
c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)\)
d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì \(\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 7\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).
a: \(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{2+4+2}{3}=\dfrac{8}{3}\\y_G=\dfrac{1+0+3}{3}=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{2+4}{2}=3\\y_I=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nên ta có :
\(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Leftrightarrow\left(x_A-1;y_A+1\right)=3\left(\frac{2}{3}-1;0+1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x_A-1=1\\y_A+1=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Giả sử \(B\left(x_1;y_1\right);C\left(x_2;y_2\right)\)
Vì M là trung điểm của BC, nên ta có :
\(\begin{cases}x_1+x_2=2\\y_1+y_2=-2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=2-x_1\\y_2=-2-y_1\end{cases}\)
Vậy \(C\left(2-x_1;-2-y_1\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{BA}=\left(-x_1;2-y_1\right);\overrightarrow{CA}=\left(x_1-2;y_1+4\right)\)
Vì \(\widehat{BAC}=90^0\) nên \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}=0\)
\(\Leftrightarrow-x_1\left(x_1-2\right)+9y_1+4\left(2-y_1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2_1-y^2_1+2x_1-2y_1+8=0\) (1)
Do AB = AC nên \(AB^2=AC^2\)
\(x^2_1+\left(y_1-2\right)^2=2\left(2-x_1\right)^2+\left(4-y_1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-4y_1+4=-4x_1+4+16+8y_1\)
\(\Leftrightarrow x_1=3y_1+4\) (2)
Thay (2) vào (1) ta có :
\(y^2_1+y_1=0\Leftrightarrow\begin{cases}y_1=0\\y_1=-2\end{cases}\)
Từ đó ta có :
\(B\left(4;0\right);C\left(-2;-2\right)\) hoặc \(B\left(-2;-2\right);C\left(4;0\right)\)
Tóm lại ta có :
\(A\left(0;2\right);B\left(4;0\right);C\left(2;-2\right)\) là 3 đỉnh của tam giác cần tìm
(Tam giác kia vẫn là tam giác trên chỉ đổi B và C với nhau)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có :
\(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Leftrightarrow\left(x_A-1;y_A+1\right)=3\left(\frac{2}{3}-1;0+1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x_A-1=-1\\y_A+1=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Ta thấy MA có hệ số góc
\(k=\frac{2-\left(-1\right)}{0-1}=-3\)
Vì \(BC\perp MA\) nên đường thẳng nối BC có hệ số góc là \(\frac{1}{3}\), do đó phương trình của nó là :
\(y=\frac{1}{3}\left(x-1\right)-1\Leftrightarrow x-3y-4=0\)
Mặt khác do :
\(MB=MC=MA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
Vậy tọa độ của B, C thỏa mãn phương trình đường tròn tâm M, bán kính =\(\sqrt{10}\)
\(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)
Vậy tọa độ của B, C là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}x-3y-4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)
Giải hệ phương trình ta có các nghiệm (4;0) và (-2;2)
Vậy A(0;2);B(4;0);C(-2;-2) là 3 đỉnh của tam giác cần tìm
a)Theo bài ra => Tam giác ABC vuông cân ở A
M(1;-1) là trung điểm BC và G\(\left(\dfrac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm
=>\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}\)
Giả sử A có tọa độ (a;b)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-a=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}-a\right)\\-1-b=-\dfrac{2}{3}b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{3}\\b=-3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A\left(\dfrac{5}{3};-3\right)\)
b)Do tam giác ABC vuông cân ở A=>GM vuông góc với BC
Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\left(\dfrac{1}{3};-1\right)\)=>VTPT của đường thẳng BC là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)\) có M(1;-1) thuộc BC
=>phương trình đường thẳng BC:
1(x-1)-3(y+1)=0
hay x-3y-4=0
=> phương trình tham số của BC:\(\left\{{}\begin{matrix}x=3t+4\\y=t\end{matrix}\right.\)
=> tồn tại số thực t để B(3t+4;t) thuộc đường thẳng BC
MB=MA(do tam giác ABC vuông cân ở A,M là trung điểm BC)
=>\(\overrightarrow{MB}^2=\overrightarrow{MA}^2\)
=>(3t+3)2+(t+1)2=\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-2\right)^2=\dfrac{40}{9}\)
=> \(t=-\dfrac{1}{3}\)hoặc \(t=-\dfrac{5}{3}\)
TH1: \(t=-\dfrac{1}{3}\)=>B\(\left(3;-\dfrac{1}{3}\right)\) ,do M(1;-1) là trung điểm BC=>C\(\left(-1;-\dfrac{5}{3}\right)\)
TH2:\(t=-\dfrac{5}{3}\)=>B\(\left(-1;-\dfrac{5}{3}\right)\),do M(1;-1) là trung điểm BC=>C\(\left(3;-\dfrac{1}{3}\right)\)
c) Tam giác ABC vuông cân ở A=>M(1;-1) là tâm đường tròn ngoại tiếp và MA là bán kính=>R2=MA2=\(\dfrac{40}{9}\)
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
(C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=\dfrac{40}{9}\)
Vì M là trung điểm BC nên
x B = 2 x M − x C = 2.2 − − 2 = 6 y B = 2 y M − y C = 2.0 − − 4 = 4 ⇒ B 6 ; 4 .
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
x A = 3 x G − x B − x C = − 4 y A = 3 y G − y B − y C = 12 → A − 4 ; 12 .
Suy ra x A + x B = ( − 4 ) + 6 = 2.
Đáp án B