Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}x=4+2t\\y=1-5t\end{matrix}\right.\)
Vậy: VTCP là (2;-5) và điểm mà (d1) đi qua là A(4;1)
=>VTPT là (5;2)
Phương trình đường thẳng của (d1) là:
5(x-4)+2(y-1)=0
=>5x-20+2y-2=0
=>5x+2y-22=0
(d2): 2x-5y-14=0
=>(d1) và (d2) vuông góc
Dễ dàng nhận thấy AC là đường kính của đường tròn và AC vuông góc d1; AB vuông góc d2
Gọi tọa độ A có dạng \(A\left(a;-a\sqrt{3}\right)\) với \(a>0\)
Gọi d là đường thẳng qua A vuông góc d2 \(\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-a\right)+\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x+\sqrt{3}y+2a=0\)
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{3}y+2a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(\frac{3a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\Rightarrow AB=a\sqrt{3}\)
Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d1 \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;-\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d':
\(1\left(x-a\right)-\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x-\sqrt{3}y-4a=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3}y-4a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-2a;-2a\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)\) \(\Rightarrow BC=3a\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.3a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-1\right)\\C\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3};-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(-\frac{\sqrt{3}}{6};-\frac{3}{2}\right)\\R=\frac{AC}{2}=1\end{matrix}\right.\)
Phương trình đường tròn: \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=1\)
Gọi tọa độ C và D lần lượt là \(C\left(c;-c-3\right)\) ; \(D\left(5d+16;d\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=\left(5d+14;d-1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(c+1;-c\right)\end{matrix}\right.\)
Để ABCD là hbh \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5d+14=c+1\\d-1=-c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-5d=13\\c+d=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=-2\\c=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(3;-6\right)\\D\left(6;-2\right)\end{matrix}\right.\)
\(C\in d_1\) nên \(C\left(x_1;\dfrac{17-4x_1}{5}\right)\); \(D\in d_2\) nên \(D\left(x_2;\dfrac{18-x_2}{2}\right)\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).
\(\overrightarrow{AB}\left(2;-6\right)\), \(\overrightarrow{CD}\left(x_2-x_1;\dfrac{40+8x_1-5x_2}{10}\right)\).
Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x_2-x_1=2\\\dfrac{-56+8x_1-5x_2}{10}=-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2-x_1=2\\8x_1-5x_2=-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=4\end{matrix}\right.\).
Vậy \(C\left(2;\dfrac{9}{2}\right);D\left(4;7\right)\).
\(AC=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(\dfrac{9}{2}-2\right)^2}=\dfrac{\sqrt{29}}{2}\).