Question

[Minz Ank]

Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N (M nằm giữa A và N). Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF, h là khoảng cách từ G đến AB. Tính h theo AB.

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

- Kẻ các đường cao DH₁, EH₂, FH₃ của các tam giác AMD, MNE, NBF.

- Gọi DI là trung tuyến của tam giác DEF \(\Rightarrow\dfrac{DG}{DI}=\dfrac{2}{3}\)

Hạ IH₄ vuông góc với AB (H₄ thuộc AB).

Dễ dàng chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}DH_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AM\\EH_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}MN\\FH_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BN\end{matrix}\right.\) và IH₄ là đường trung bình của hình thang EH₂H₃F.

\(\Rightarrow IH_4=\dfrac{EH_2+FH_3}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}MN+\dfrac{\sqrt{3}}{2}BN}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(MN+BN\right)\left(1\right)\)

Giờ ta tập trung vào hình thang DH₁H₄I. Hạ GK vuông góc với AB (K thuộc AB).

*Gọi T là giao của DH₄ và GK.

Theo định lí Thales, ta có: \(\dfrac{GT}{IH_4}=\dfrac{DG}{DI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow IH_4=\dfrac{2}{3}GT\)

\(\dfrac{GI}{ID}=\dfrac{H_4T}{H_4D}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{TK}{DH_1}=\dfrac{H_4T}{H_4D}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow TK=\dfrac{DH_1}{3}\)

\(\Rightarrow h=\dfrac{2IH_4}{3}+\dfrac{DH_1}{3}=\dfrac{2.\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(MN+BN\right)}{3}+\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}AM}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(AM+MN+BN\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}AB\)

Answer 2

[Trần Tuấn Hoàng]

Có thể rút kết luận trong bài này là: nếu D,E,F cùng phía so với AB và độ dài AB không đổi thì G di chuyển trên 1 đường thẳng cố định (là đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng bằng \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)AB, tất nhiên, đường thẳng này phải cùng phía với D,E,F đối với AB).