Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: MN // AB (gt). \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MAB}=\widehat{ABC}\\\widehat{NAC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\) (so le trong).
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Tam giác ABC cân).
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{NAC.}\)
Xét tam giác AMB và tam giác ANC có:
+ AM = AN (A là trung điểm của MN).
+ AB = AC (gt).
+ \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\) Tam giác AMB = Tam giác ANC (c - g - c).
Xét tứ giác MNCB có: \(\text{MN // CB}\) (gt).
\(\Rightarrow\) Tứ giác MNCB là hình thang.
Mà \(\widehat{M}=\widehat{N}\) (Tam giác AMB = Tam giác ANC).
\(\Rightarrow\) Tứ giác MNCB là hình thang cân.
- Kẻ các đường cao DH1, EH2, FH3 của các tam giác AMD, MNE, NBF.
- Gọi DI là trung tuyến của tam giác DEF \(\Rightarrow\dfrac{DG}{DI}=\dfrac{2}{3}\)
Hạ IH4 vuông góc với AB (H4 thuộc AB).
Dễ dàng chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}DH_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AM\\EH_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}MN\\FH_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BN\end{matrix}\right.\) và IH4 là đường trung bình của hình thang EH2H3F.
\(\Rightarrow IH_4=\dfrac{EH_2+FH_3}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}MN+\dfrac{\sqrt{3}}{2}BN}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(MN+BN\right)\left(1\right)\)
Giờ ta tập trung vào hình thang DH1H4I. Hạ GK vuông góc với AB (K thuộc AB).
*Gọi T là giao của DH4 và GK.
Theo định lí Thales, ta có: \(\dfrac{GT}{IH_4}=\dfrac{DG}{DI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow IH_4=\dfrac{2}{3}GT\)
\(\dfrac{GI}{ID}=\dfrac{H_4T}{H_4D}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{TK}{DH_1}=\dfrac{H_4T}{H_4D}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow TK=\dfrac{DH_1}{3}\)
\(\Rightarrow h=\dfrac{2IH_4}{3}+\dfrac{DH_1}{3}=\dfrac{2.\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(MN+BN\right)}{3}+\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}AM}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(AM+MN+BN\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}AB\)
Có thể rút kết luận trong bài này là: nếu D,E,F cùng phía so với AB và độ dài AB không đổi thì G di chuyển trên 1 đường thẳng cố định (là đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng bằng \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)AB, tất nhiên, đường thẳng này phải cùng phía với D,E,F đối với AB).