TD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 4 2016
\(I=\int\limits^0_{\frac{-1}{2}}\frac{dx}{\left(x+1\right)\sqrt{3+2x-x^2}}=\int\limits^0_{\frac{-1}{2}}\frac{dx}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\right)}\)
\(=\int\limits^0_{\frac{-1}{2}}\frac{dx}{\left(x+1\right)^2\sqrt{\frac{3-x}{x+1}}}\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{3-x}{x+1}}\Rightarrow\frac{dx}{\left(x+1\right)^2}=-\frac{1}{2}\)
Đổi cận : \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=\sqrt{7};x=0\Rightarrow t=\sqrt{3}\)
\(I=-\frac{1}{2}\int\limits^{\sqrt{3}}_{\sqrt{7}}dt=\frac{1}{2}\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\)
22 tháng 3 2016
\(I_1=3\int_1^2x^2dx+\int_1^2\cos xdx+\int_1^2\frac{dx}{x}=x^3\)\(|^2 _1\)+\(\sin x\)\(|^2_1\) +\(\ln\left|x\right|\)\(|^2_1\)
\(=\left(8-1\right)+\left(\sin2-\sin1\right)+\left(\ln2-\ln1\right)\)
\(=7+\sin2-\sin1+\ln2\)
22 tháng 3 2016
b) \(I_2=4\int_1^2\frac{dx}{x}-5\int_1^2x^4dx+2\int_1^2\sqrt{x}dx\)
\(=4\left(\ln2-\ln1\right)-\left(2^5-1^5\right)+\frac{4}{3}\left(2\sqrt{2}-1\sqrt{1}\right)\)
\(=4\ln2+\frac{8\sqrt{2}}{3}-32\frac{1}{3}\)
NP
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
a.
Đặt \(\sqrt{1-x^2}=u\Rightarrow x^2=1-u^2\Rightarrow xdx=-udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=1\Rightarrow u=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_1\left(1-u^2\right).u.\left(-udu\right)=\int\limits^1_0\left(u^2-u^4\right)du=\left(\dfrac{1}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5\right)|^1_0\)
\(=\dfrac{2}{15}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
b.
\(\int\limits^2_1\dfrac{dx}{x^2-2x+2}=\int\limits^2_1\dfrac{dx}{\left(x-1\right)^2+1}\)
Đặt \(x-1=tanu\Rightarrow dx=\dfrac{1}{cos^2u}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow u=0\\x=2\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{tan^2u+1}.\dfrac{1}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{cos^2u}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0du\)
\(=u|^{\dfrac{\pi}{4}}_0=\dfrac{\pi}{4}\)
ML
23 tháng 1 2016
a) Đặt \(x=\sin t;t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) \(\Rightarrow dx=\cos tdt\)
Suy ra : \(\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\frac{\cos tdt}{\sqrt{\left(1-\sin^2t\right)^3}}=\frac{\cos tdt}{\cos^3t}=\frac{dt}{\cos^2t}=d\left(\tan t\right)\)
Khi đó \(\int\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\int d\left(\tan t\right)=\tan t+C=\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2t}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\)
ML
23 tháng 1 2016
b) Vì \(x^2+2x+3=\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2\)
nên ta đặt : \(x+1=\sqrt{2}\tan t;t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow dx=\sqrt{2}.\frac{dt}{\cos^2t};\tan t=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\)
Suy ra \(\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{dx}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}}=\frac{dx}{\sqrt{2\left(\tan^2t+1\right).\cos^2t}}\)
\(=\frac{dt}{\sqrt{2}\cos t}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\cos tdt}{1-\sin^2t}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}.\left(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1}\right)\)
Khi đó \(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\left(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\sin t-1}{\sin t+1}\right|+C\left(1\right)\)
Từ \(\tan t=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\tan^2t=\frac{\sin^2t}{1-\sin^2t}=\frac{\left(x+1\right)^2}{2}\Rightarrow\sin^2t=1-\frac{2}{x^2+2x+3}\)
Ta tìm được \(\sin t\) thay vào (1), ta tính được I
VB
6 tháng 4 2016
\(I=\int\limits^5_1\left(\frac{x}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\ln x}{\left(x+1\right)^2}\right)dx=\int\limits^5_1\frac{x}{\sqrt{x-1}+1}dx+\int\limits^5_1\frac{\ln x}{\left(x+1\right)^2}dx\)
- Tính \(\int\limits^5_1\frac{x}{\sqrt{x-1}+1}dx\)
Đặt \(t=\sqrt{x-1}\Rightarrow t^2=x-1\Leftrightarrow x=t^2+1\Rightarrow dx=2tdt\)
Đổi cận : Cho x=1 => t=0; x=5=>t=2
\(I_1=\int\limits^2_0\frac{t^2+1}{t+1}.2td=\int\limits^2_0\frac{2t^3+2t}{t+1}dt=\int\limits^2_0\left(2t^2-2t+4-\frac{4}{t+1}\right)dt\)
\(=\left(\frac{2}{3}t^3-t^2+4t-4\ln\left|x+1\right|\right)|^2_0=\frac{28}{3}-4\ln3\)
\(I_2=\int\limits^5_1\frac{\ln x}{\left(x+1\right)^2}dx\)
Đặt \(\begin{cases}u=\ln x\\dv=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=-\frac{1}{x+1}\end{cases}\)
Ta có \(I_2=-\frac{1}{x+1}\ln x|^5_1+\int\limits^5_1\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx=-\frac{1}{6}\ln5+\int\limits^5_1\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx\)
\(=-\frac{1}{6}\ln5+\left(\ln\left|x\right|x+1\right)|^5_1=-\frac{1}{6}\ln5+\ln5-\ln6+\ln2=\frac{5}{6}\ln5-\ln3\)
Khi đó \(I=I_1+I_2=\frac{28}{3}+\frac{5}{6}\ln5=5\ln3\)
DV
2
7 tháng 4 2016
Ta có :\(I=\int\limits^2_0\frac{x^2x^3}{\sqrt{x^3+1}}dx\)
Đặt \(t=\sqrt{x^3+1}\) khi đó với x=0 thì t=1,x=2 thì t=3
và \(dt=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}dx\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}}dx=\frac{2}{3}dt,x^3=t^2-1\)
Suy ra \(I=\frac{2}{3}\int\limits^3_1\left(t^2-1\right)dt=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}t^2-t\right)|^3_1=\frac{2}{3}\left(\frac{26}{3}-2\right)=\frac{40}{9}\)
Vậy \(I=\int\limits^2_0\frac{x^5}{\sqrt{x^3+1}}dx=\frac{40}{9}\)
HD
Hà Đức Thọ
Admin
29 tháng 12 2015
\(\int_1^2\sqrt{1+x}dx=\int_1^2\sqrt{1+x}d(1+x)=\dfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}|_1^2=...\)
LH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2021
Lời giải:
\(I=\int ^{1}_{-1}\ln (x+\sqrt{1+x^2})dx\)
Chuyển $x\to -x$ thì:
\(I=\int ^{-1}_{1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})d(-x)\)
\(=-\int ^{-1}_{1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})dx=\int ^{1}_{-1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})dx\)
\(2I=\int ^{1}_{-1}[\ln (x+\sqrt{1+x^2})+\ln (-x+\sqrt{1+x^2})]dx\)
\(=\int^{1}_{-1}\ln [(x^2+1)-x^2]dx=\int^{1}_{-1}\ln 1dx=\int^{1}_{-1}0dx=0\)
$\Rightarrow I=0$