Question

[Julian Edward]

tính gioi han cua day so:

\(u_n=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{1^3+2^3+...+n^3}}{3n^3+n+2}\)

Answer 1

[Hoàng Tử Hà]

Ta sẽ sd phép quy nạp một chút, tui nhớ cái dãy trong căn có trong SGK nên CM lại thôi :b

\(1^3+2^3+...+n^3=\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Với n=1, mệnh đề có dạng \(1=\left[\dfrac{1\left(1+1\right)}{2}\right]^3\)

=>Mệnh đề đúng với n=1

Giả sử n=k đúng với \(\forall k\ge1\) , nghĩa là:

\(1^3+2^3+..+k^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)

Ta cần chứng mình mệnh đề cũng đúng với n=k+1, nghĩa là:

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Thật vậy

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Vậy mệnh đề giả thiết đúng

\(lim\dfrac{\left(n+1\right).n\left(n+1\right)}{2.(3n^3+n+2)}=lim\dfrac{n^3}{6n^3}=\dfrac{1}{6}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Ta có đẳng thức: \(1^3+2^3+...+n^3=\left(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\lim\left(u_n\right)=\lim\dfrac{\left(n+1\right).n\left(n+1\right)}{2\left(3n^3+n+2\right)}=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right).1.\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{2\left(3+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{2}{n^3}\right)}=\dfrac{1.1.1}{6}=\dfrac{1}{6}\)