Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}+...+\frac{1}{23.24.25}\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}-\frac{1}{n.\left(n+1\right)}+...+\frac{1}{23.24}-\frac{1}{24.25}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{24.25}\right)=\frac{299}{1200}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{23.24.25}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{23.24}-\frac{1}{24.25}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{600}\right)=\frac{1}{2}.\frac{299}{600}=\frac{299}{1200}\)
\(S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{23.24.25}\)
\(S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{23.24}-\frac{1}{24.25}\right)\)
\(S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{24.25}\right)\)
\(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{24.50}\)
Dễ thấy với mọi số tự nhiên n > 1 , ta có :
\(\frac{2}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right).n}-\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\)
Sử dụng hệ thức trên cho từng số hạng trong tổng sau :
\(2S=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}+\frac{2}{23.24.25}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{\left(n-1\right).n}-\frac{1}{n.\left(n+1\right)}+...+\frac{1}{23.24}-\frac{1}{24.25}\)
Để ý rằng trong vế phải của hệ thức trên , trừ 2 số hạng đầu và cuối , các số hạng còn lại tạo thành từng cặp đối nhau.
Do đó , có thể rút gọn :
\(2S=\frac{1}{1.2}-\frac{2}{24.25}=\frac{299}{600}\)
Vậy , ta được \(S=\frac{299}{600}\)
Ta có \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(=\frac{\left(n+2\right)-n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\) (đpcm)
Áp dụng công thức trên ta có
A\(=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2015\cdot2016\cdot2017}\)
\(\Leftrightarrow2A=\frac{2}{1\cdot2\cdot3}+\frac{2}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{2}{2015\cdot2016\cdot2017}\)
\(\Leftrightarrow2A=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{2}{3\cdot4}+....+\frac{1}{2015\cdot2016}-\frac{1}{2016\cdot2017}\)
\(\Leftrightarrow2A=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2016\cdot2017}\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2016\cdot2017}\right)\div2\approx0.25\)
Vậy A\(\approx0.25\)
Đặt biểu thức là A, ta có:
3A= \(\frac{3}{1\times2\times3}+\frac{3}{2\times3\times4}+...+\frac{3}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
3A = \(\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{2\times3}-\frac{1}{3\times4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
3A = \(\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
=>A = \(\frac{3}{2}\) - \(\frac{3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
Phần b bạn làm tương tự
Biến đổi phân số ở dạng tổng quát:
\(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}=\frac{3}{3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}=\frac{3+n-n}{3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{n+3}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+2\right)}\right]\)
=\(\frac{1}{3}\left[\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}\right]\)
Áp dụng kết quả vào bài, ta được:
\(\frac{1}{1.2.3.4}=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{2.3.4}\right],\frac{1}{2.3.4.5}=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2.3.4}-\frac{1}{3.4.5}\right]\),...
\(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}\right]\)
Cộng từng vế, ta được:
\(S=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}\right].\)
\(A=2.\left(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{98.99.100}\right)\)
\(A=2.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}-\frac{1}{99.100}\right)\)
\(A=2.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{99.100}\right)\)
\(A=2\cdot\frac{4949}{9900}=\frac{4949}{4950}\)
Ta có: \(S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}.\frac{1}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
Vậy...
Ta nhận thấy:
\(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}=\frac{3-1}{1.2.3}=\frac{2}{1.2.3}\)
\(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}=\frac{4-2}{2.3.4}=\frac{2}{2.3.4}\)
Vậy \(\frac{1}{1.2.3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}\right),\frac{1}{2.3.4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}\right),...\\ \frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right).\)
Cộng các số hạng của vế trái và các số hạng của vế phải, ta được:
\(S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}\right)+...+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)