PV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 8 2019
Bài 2:
Với $x,y,z$ nguyên dương ta thấy:
\((x+y)^2+3x+y+1> (x+y)^2(1)\)
Và:
\((x+y)^2+3x+y+1< (x+y)^2+4(x+y)+4\)
hay $(x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2(2)$
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y)^2< (x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2\)
Theo nguyên lý kẹp suy ra $z^2=(x+y+1)^2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2+3x+y+1=(x+y+1)^2$
$\Leftrightarrow x=y$
Thay vào PT ban đầu:
\((2x)^2+3x+x+1=z^2\Leftrightarrow (2x+1)^2=z^2\Rightarrow 2x+1=z\) (không có TH $2x+1=-z$ do $x,z$ cùng nguyên dương)
Vậy PT có nghiệm $(x,y,z)=(m,m,2m+1)$ với $m$ là số nguyên dương bất kỳ.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 8 2019
Lời giải:
Xét
PT \(\Leftrightarrow x^3=y^3+2y^2+3y+1\)
Ta thấy:
\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3+3y^2+3y+1)-y^2=(y+1)^3-y^2\leq (y+1)^3(1)\)
\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3-3y^2+3y-1)+5y^2+2=(y-1)^3+5y^2+2\)
\(>(y-1)^3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (y+1)^3\geq y^3+2y^2+3y+1> (y-1)^3\)
\(\Leftrightarrow (y+1)^3\geq x^3> (y-1)^3\)
Theo nguyên lý kẹp thì \(\left[\begin{matrix} x^3=(y+1)^3\\ x^3=y^3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x^3=(y+1)^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=(y+1)^3\)
\(\Leftrightarrow y=0\)
\(\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1\)
Nếu \(x^3=y^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=y^3\)
\(\Leftrightarrow 2y^2+3y+1=0\Leftrightarrow (2y+1)(y+1)=0\Rightarrow y=-1\) (do $y$ nguyên)
$\Rightarrow x^3=y^3=-1\Rightarrow x=-1$
Vậy $(x,y)=(1,0); (-1,-1)$
28 tháng 6 2018
2) ĐK: x;y ∈ Z
pt ⇔ \(\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0\)
=> I) a) x-y=0 => x=y
b) y-1=0 => y=1 => x=y=1(nhận)
II) a) x-y=0 => x=y
b) y-3=0 => y=3 => x=y=3(nhận)
NT
0
PN
9 tháng 8 2016
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây
T
18 tháng 8 2019
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
18 tháng 8 2019
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 9 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+3y+2z}\)
\(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+2y+3z}\)
\(\frac{1}{z+y}+\frac{1}{z+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{16}{2x+3y+3z}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\geq 16\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\leq \frac{4.6}{16}=\frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(x^3y^3-3xy^3+y^2+x^2-2y-3=0\)
\(\Leftrightarrow xy^3\left(x^2-4\right)+\left(y-1\right)^2+\left(x^2-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(xy^3+1\right)=-\left(y-1\right)^2\)
Ta có \(RHS\le0\Rightarrow LHS\le0\) mà \(xy^3+1>0\Rightarrow x^2-4< 0\Rightarrow x^2< 4\Rightarrow x\in\left\{0;1;2\right\}\)
Thay x vào tìm y nốt nha anh :))