Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
\(P^2=\left(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)\)
\(=3\left(4+xy+yz+xz\right)=12+3\left(xy+yz+xz\right)\)
Mặt khác,theo AM-GM:
\(3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2=4\)
\(\Rightarrow12+3\left(xy+yz+xz\right)\le12+4=16\)
\(\Rightarrow P^2\le16\Leftrightarrow P\le4\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
<=>\(\left(x-19\right)-2\sqrt{x-19}+1+\left(y-7\right)+4\sqrt{y-7}+4\)+\(+\left(z-1997\right)-6\sqrt{z-1997}+9=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-19}=1\\\sqrt{y-7}=2\\\sqrt{z-1997}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=20\\y=11\\z=2006\end{cases}}}\)
vay...
\(\Leftrightarrow\left(x-19\right)2\sqrt{x-19}+1+\left(y-7\right)+4+\left(z-1997\right)+9=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-19}=1\\\sqrt{y-7}=2\\\sqrt{z-1997}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=20\\y=11\\z=2006\end{cases}}\)
Chúc bạn học tốt!
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây
\(y=\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\) (Điều kiện xác định : \(x\ge-100\))
Ta có : \(36=\left(18+\sqrt{x+100}\right)+\left(18-\sqrt{x+100}\right)=\left(\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\right)^3\)
Đặt \(a=\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}\) ; \(b=\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3=36\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=36\). Vì \(a+b\in Z^+\) nên a+b \(\in\) Ư(36)
\(\Rightarrow a+b\in\left\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\right\}\)
Giải từng trường hợp , được x = 225 , y = 3 thoả mãn đề bài.
x = 225 , y = 3 nhé :)
Phần giải mình đã làm cho bạn ở H.vn
đầu tiên ta chứng minh với x,y,z,t bất kì thì:
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (*)
thật vậy bđt (*) tương đương với:
\(x^2+y^2+z^2+t^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge xz+yt\)
bđt trên đúng vì theo bđt bunhia cốp xki
\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge\sqrt{\left(xz+yt\right)^2}=|xz+yt|\ge xz+yt\)
Áp dụng (*) ta có:
\(P=\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(x^2+y^2\right)^2}+\sqrt{4+z^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\sqrt{36+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Ta có:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2x+2y+2z+2xy+2yz+2zx=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\Rightarrow P\ge\sqrt{36+3}=3\sqrt{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Lời giải:
ĐK: $x,y\geq 2$
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
\(x\sqrt{2y-4}=\sqrt{x^2.2(y-2)}=\sqrt{2x(xy-2x)}\leq \frac{2x+(xy-2x)}{2}=\frac{xy}{2}\)
\(y\sqrt{2x-4}=\sqrt{y^2.2(x-2)}=\sqrt{2y(xy-2y)}\leq \frac{2y+(xy-2y)}{2}=\frac{xy}{2}\)
Cộng theo vế:
\(x\sqrt{2y-4}+y\sqrt{2x-4}\leq xy\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x,y\geq 2\\ 2x=xy-2x\\ 2y=xy-2y\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=4\)