Question

[le huy hoa]

tìm x thuộc Z để

\(\frac{\sqrt{x-8}}{\sqrt{x-2}}\)

luôn luôn nguyen

Answer 1

[GV]

Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: \(\hept{\begin{cases}x-8\ge0\\x-2>0\end{cases}}\)  \(\Rightarrow x\ge8\)

\(A=\frac{\sqrt{x-8}}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{\frac{x-8}{x-2}}=\sqrt{1-\frac{6}{x-2}}\)

Để A nguyên thì \(\sqrt{1-\frac{6}{x-2}}=k\) (với \(k\in\text{Z},k\ge0\))

\(\Rightarrow1-\frac{6}{x-2}=k^2\)

  \(\Rightarrow\frac{6}{x-2}=1-k^2\)

\(\Rightarrow x-2=\frac{6}{1-k^2}\) 

\(\Rightarrow x=\frac{6}{1-k^2}+2\)    (*)

Để x cũng nguyên thì \(1-k^2\) là Ư(6) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6}

=> \(k^2\in\left\{0;2;-1;3;-2;4;-5;7\right\}\)

Mà k nguyên và lớn hơn hoặc bằng 0 => \(k\in\left\{0;2\right\}\)

Thay vào (*) ta được:

Với k = 0 => x = 8

Với k = 2 => x = 0 (không thỏa mãn)

Vậy với x = 8 thì A nguyên.