Question

[Bùi Duy Vương]

Tìm ước chung lớn nhất của \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và\(2n+1\).

Answer 1

[đăng việt cường]

Đặt d=(\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) ;2n+1) ; (d thuộc N^*)

Khi đó:\(\hept{\begin{cases}\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\2n+1\end{cases}}\) đều chia hết cho d=>\(\hept{\begin{cases}2n\left(n+1\right)\\2n+1\end{cases}}\) đều chia hết cho d.

=>2n(n+1)+2n+1 chia hết cho d.

=>2nn+2n+2n+1 chia hết cho d.

=>2nn+n+n+2n+1 chia hết cho d.

=>n(2n+1)+2n+1+ n chia hết cho d.

=>(n+1)(2n+1)+ n chia hết cho d. Mà 2n+1 chia hết cho d nên (n+1)(2n+1) chia hết cho d.

=>(n+1)(2n+1)+n - (n+1)(2n+1) chia hết cho d.

=>n chia hết cho d.

=>2n chia hết cho d.

=>2n+1-1 chia hết cho d . Mà 2n+1 chia hết cho d.

=>1 chia hết cho d,mà d thuộc N^*.

=>d=1 hay (\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) ;2n+1) =1

Vậy (\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) ;2n+1) =1