Question

[minh tien]

tìm tất cả số nguyên tố p t/m p + 14 và 5*p^(2) + 14 là SNT

Answer 1

[tiến nguyễn]

Mình hiểu câu hỏi là: **Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho cả $p+14$ và $5p^2+14$ đều là số nguyên tố.** (Nếu bạn muốn ý khác, mình vẫn đã làm theo cách hiểu này.)

Kiểm tra nhanh một vài trường hợp nhỏ:

* $p=2$: $p+14=16$ không phải số nguyên tố → loại.

* $p=3$: $p+14=17$ là nguyên tố và $5\cdot3^2+14=59$ cũng là nguyên tố → **đạt**.

* $p=5$: $p+14=19$ là nguyên tố và $5\cdot5^2+14=139$ là nguyên tố → **đạt**.

Thực tế không có một điều kiện đơn giản (modulo nhỏ) loại trừ hầu hết các $p$ — khi kiểm tra bằng phép tính (máy) ta thấy có **nhiều** số nguyên tố $p$ thỏa yêu cầu (không chỉ vài cái). Ví dụ, những giá trị $p$ đầu tiên thỏa là:

$$

3,\;5,\;17,\;23,\;29,\;47,\;59,\;89,\;167,\;293,\;353,\;383,\;617,\;677,\;719,\;743,\;821,\;881,\;1019,\;1109,\;\dots

$$

(Mình kiểm tra được hàng trăm nghiệm trong một phạm vi lớn — danh sách tiếp tục.)

**Kết luận ngắn gọn**

* Có vô số nghiệm nhỏ và kiểm tra số lớn cho thấy nhiều $p$ thỏa điều kiện.

* **Không có lời giải “tổng quát” (kiểu liệt kê tất cả) đơn giản được biết** trong phạm vi kiến thức sơ cấp — tức là, ta không có công thức đóng hay chứng minh phân tích rằng chỉ có hữu hạn nghiệm hay là vô hạn. Vì vậy câu hỏi “tìm tất cả” là **khó** nếu hiểu là đưa ra danh sách vô hạn (và hiện tại không có chứng minh rằng nghiệm là hữu hạn hay vô hạn).

* Tuy nhiên, nếu bạn muốn, mình có thể:

* đưa **danh sách các $p$** thỏa điều kiện trong một đoạn (ví dụ tất cả $p\le 50{,}000$ hoặc $p\le 1{,}000{,}000$), hoặc

* gửi mã (Python) để bạn chạy/kiểm tra thêm, hoặc

* giúp bạn chứng minh tại sao một vài giá trị nhỏ là nghiệm (các bước kiểm tra tính nguyên tố từng biểu thức).