Question

[Cẩm Bình 귀여운]

Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2^p+p² cũng là số nguyên tố 

Answer 1

[Shinichi Kudo]

Trả lời

Trường hợp p = 2 thì \(2^p\) + \(p^2\) = 8 là hợp số. 
Trường hợp p = 3 thì \(2^p+p^2\) = 17 là số nguyên tố. 
Trường hợp p > 3. Khi đó p không chia hết cho 3 và p là số lẻ. Suy ra p chia cho 3 hoặc dư 1 hoặc dư 2, do đó \(p^2\) - 1 = (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3. Lại vì p lẻ nên \(2^p\) + 1 chia hết cho 3. Thành thử \(\left(2^p+1\right)+\left(p^2-1\right)\) = \(2^p+p^2\) chia hết cho 3; \(\Rightarrow2^p+p^2\)là hợp số. 
Vậy p = 3.