Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khai triển: \(\left(x+y\right)^2+\left(xy-1\right)\left(x+y\right)+\left(xy-5\right)=0\).
Ta coi như là một phương trình bậc hai ẩn \(x+y\).
\(\Delta=\left(xy-1\right)^2-4\left(xy-5\right)=\left(xy-3\right)^2+12\)
Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) chính phương, cộng với \(\left(xy-3\right)^2\) đã là một số chính phương.
Nghĩa là ta cần tìm 2 số chính phương hơn kém nhau 12 đơn vị. Đó là số 4 và 16.
Tức là \(\left(xy-3\right)^2=4\) (số chính phương nhỏ hơn)
Hay \(xy=5\) hoặc \(xy=1\).
Thử lại thì \(x=y=1\) hoặc \(x=y=-1\)
Ta thấy nếu một trong hai số \(x,y\) bằng 0 thì số kia cũng bằng 0. Do đó \(x=y=0\) là một nghiệm của pt đã cho.
Xét \(x,y\ne0\) . Gọi \(\operatorname{gcd}\left(x,y\right)=d\), khi đó \(\begin{cases}x=da\\ y=db\end{cases}\) với \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=1\) và \(d,a,b\ne0\). Khi đó pt đã cho thành:
\(\left(da\right)^2\left(da+db\right)=\left(db\right)^2\left(da-db\right)^2\)
\(\lrArr a^2\left(a+b\right)=db^2\left(a-b\right)^2\) (1)
Vì \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=1\) nên \(\operatorname{gcd}\left(b,a+b\right)=\operatorname{gcd}\left(a,a-b\right)=1\) (thuật toán Euclid).
Từ (1) suy ra \(a^2\vert db^2\left(a-b\right)^2\), nhưng vì \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=\operatorname{gcd}\left(a,a-b\right)=1\) nên \(a^2\vert d\). Đặt \(d=ka^2\) thì (1) thành
\(a+b=kb^2\left(a-b\right)^2\) (2)
Từ (2) suy ra \(b^2\left(a-b\right)^2\vert a+b\), suy ra \(\begin{cases}b^2\vert a+b\\ \left(a-b\right)^2\vert a+b\end{cases}\)
Ta có \(b^2\vert a+b\) thì \(b\vert a+b\) thì \(b\vert a\), nhưng do \(\operatorname{gcd}\left(a,b\right)=1\) nên \(b=\pm1\)
Tương tự, suy ra \(a-b=\pm1\)
Ta lập bảng sau:
b | 1 | -1 | 1 | -1 |
a-b | 1 | -1 | -1 | 1 |
a | 2 | -2 | 0 (loại) | 0 (loại) |
Nếu \(\left(a,b\right)=\left(2,1\right)\) thì \(k=3\), suy ra \(d=12\), dẫn đến \(\left(x,y\right)=\left(24,12\right)\), thử lại thỏa mãn.
Nếu \(\left(a,b\right)=\left(-2,-1\right)\) thì \(k=-3\), suy ra \(d=-12\), cũng dẫn đến \(\left(x,y\right)=\left(24,12\right)\).
Vậy có hai cặp số \(\left(a,b\right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left(0,0\right)\) và \(\left(24,12\right)\).
@Lê Song Phương mình cảm ơn bạn, nhưng mình thấy là \(\left(24;12\right)\) cũng là một nghiệm ạ. Bạn có thể tìm cách khác không ạ?
a) Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta xét \(x\ge2\)
Do đó , y là số lẻ
Mà 12x , y2 \(\equiv1\left(mod8\right)\)
Suy ra 5x \(\equiv1\left(mod8\right)\)
=> x chẵn
Đặt x = 2k (k > 0)
=> 52k = (y - 12k)(y + 12k)
Mặt khác , 5 là số nguyên tố nên tồn tại một số m,m < k thõa : y + 12k = 52k - m
và y - 12k = 5m
=> 2.12k = 5m(52k - 2m - 1)
Nhận thấy : 2 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với 5
=> 52k + 122k = (12k + 1)2
Mà 2.12k = 5m => m = 0 và y = 12k + 1
=> 2.12k = 25k - 1
Tìm từng giá trị của k thấy k = 1 thõa mãn phương trình
Vậy x = 2 , y = 13
b) Dùng nhị thức Newton , ta khai triển hai hạng tử được
\(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}=2^{2016}+2^{2016}+3^{1008}+3^{1008}=2\left(2^{2016}+3^{1008}\right)⋮2\)
Vậy ......
mình ko biết xin lỗi bạn nha!
mình ko biết xin lỗi bạn nha!
mình ko biết xin lỗi bạn nha!
mình ko biết xin lỗi bạn nha!
Tham khảo:
Nhưng có vẻ không đúng yêu cầu đề lắm :<
\(\left(x^2-y^2\right)^2=4xy+1\)
<=> \(\left(x^2+y^2\right)^2=4x^2y^2+4xy+1\)
<=> \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(2xy+1\right)^2\)
<=> \(x^2+y^2=2xy+1\)
<=> \(\left(x-y\right)^2=1\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\x=y-1\end{matrix}\right.\) mà x,y là SNT <=> \(\left[{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\\\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\end{matrix}\right.\)