Question

[Nguyen Thi Ngoc Linh]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2ⁿ -1 chia hết cho 7

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Nếu $n\vdots 3$. Đặt $n=3k$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n-1=2^{3k}-1=8^k-1\equiv 1^k-1\equiv 0\pmod 7$ (tm) 

Nếu $n$ chia 3 dư 1. Đặt $n=3k+1$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n-1=2^{3k+1}-1=8^k.2-1\equiv 1^k.2-1\equiv 1\pmod 7$ (không tm) 

Nếu $n$ chia 3 dư 2. Đặt $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n-1=2^{3k+2}-1=8^k.4-1\equiv 1^k.4-1\equiv 3\pmod 7$ (không tm)

Vậy số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2^n-1\vdots 7$ là những số chia hết cho 3.

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Nếu $n\vdots 3$. Đặt $n=3k$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n-1=2^{3k}-1=8^k-1\equiv 1^k-1\equiv 0\pmod 7$ (tm) 

Nếu $n$ chia 3 dư 1. Đặt $n=3k+1$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n-1=2^{3k+1}-1=8^k.2-1\equiv 1^k.2-1\equiv 1\pmod 7$ (không tm) 

Nếu $n$ chia 3 dư 2. Đặt $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n-1=2^{3k+2}-1=8^k.4-1\equiv 1^k.4-1\equiv 3\pmod 7$ (không tm)

Vậy số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2^n-1\vdots 7$ là những số chia hết cho 3.