Question

[Thụy An]

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(\frac{cotx+1}{10cotx+m}\) đồng biến trên khoảng (0;pi/2).

Mình (Em) hỏi tí sao chỗ mình cho đk 10cotx + m \(\ne0\) xong từ đó suy ra m >= 0 được thế ạ?

Answer 1

[Ami Mizuno]

Đặt t=cotx, t>0

Ta có: y=\(\frac{t+1}{10t+m}\)

\(\Rightarrow y'=\frac{m-10}{\left(10t+m\right)^2}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)mà hàm số t lại nghịch biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)thì m-10<0

\(\Leftrightarrow m< 10\)

Lại có điều kiện để hàm số xác định: 10t+m\(\ne0\) \(\Leftrightarrow10t\ne-m\)\(\Leftrightarrow-10t\ne m\)

Mà t>0 \(\Rightarrow-10t< 0\:\Rightarrow m\ge0\)

Vậy \(0\le m< 10\) thì hàm số đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)

Không hiểu thì bạn hỏi lại mình nha ><

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt \(cotx=t\) \(\Rightarrow t>0\)

Ta thấy rằng khi x tăng trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) thì t giảm trên \(\left(0;+\infty\right)\)

Do đó hàm \(y=\frac{cotx+1}{10cotx+m}\) tăng trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow y=\frac{t+1}{10t+m}\) giảm trên \(\left(0;+\infty\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'=\frac{m-10}{\left(10t+m\right)^2}< 0\\-\frac{m}{10}\notin\left(0;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 10\\-\frac{m}{10}\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le m< 10\)