Question

[Nguyễn Minh Triết]

Tìm tất cả các bộ số thực thỏa mãn mỗi số bằng tổng bình phương của 19 số còn lại.

pls nhanh ddc ko ạ ||o||

Answer 1

[VŨ HẢI TÂN]

Gọn nhất nè:

---

🔎 Đề bài:

Tìm các bộ số thực \(x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{20}\) sao cho:

\(x_{i} = \sum_{j = 1 \\ j \neq i}^{20} x_{j}^{2} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; i\)

---

✅ Giải:

Gọi \(S = \sum_{j = 1}^{20} x_{j}^{2}\), ta có:

\(x_{i} = S - x_{i}^{2} \Rightarrow x_{i}^{2} + x_{i} - S = 0\)

Tất cả \(x_{i}\) là nghiệm của cùng một phương trình này ⇒ chỉ có tối đa 2 giá trị khác nhau trong bộ 20 số.

Giả sử mọi \(x_{i} = x\):

\(x = 19 x^{2} \Rightarrow x \left(\right. 19 x - 1 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; x = \frac{1}{19}\)

---

✅ Kết luận:

\(\boxed{\left(\right. x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{20} \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 , \ldots , 0 \left.\right) \text{ho}ặ\text{c} \left(\right. \frac{1}{19} , \ldots , \frac{1}{19} \left.\right)}\)

Chỉ có 2 bộ nghiệm duy nhất.

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Bạn hỏi:

Tìm tất cả các bộ số thực (có 20 số) sao cho mỗi số trong bộ bằng tổng bình phương của 19 số còn lại.

---

Giải thích nhanh:

Giả sử bộ số là:

\(x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{20}\)

Với điều kiện:

\(x_{i} = \sum_{j = 1 \\ j \neq i}^{20} x_{j}^{2} , \forall i = 1 , 2 , \ldots , 20\)

---

Bước 1: Viết lại điều kiện

\(x_{i} = S - x_{i}^{2} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; S = \sum_{j = 1}^{20} x_{j}^{2}\)

Từ đó ta có:

\(x_{i} + x_{i}^{2} = S \Rightarrow x_{i}^{2} + x_{i} - S = 0 , \forall i\)

---

Bước 2: Phân tích

Mọi \(x_{i}\) đều là nghiệm của phương trình:

\(t^{2} + t - S = 0\)

Phương trình có nghiệm:

\(t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 S}}{2}\)

---

Bước 3: Giả sử trong 20 số có \(k\) số bằng nghiệm thứ nhất, còn lại \(20 - k\) số bằng nghiệm thứ hai.

Gọi hai nghiệm là:

\(a = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 S}}{2} , b = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 S}}{2}\)

Số \(x_{i}\) chỉ nhận giá trị \(a\) hoặc \(b\).

---

Bước 4: Viết tổng bình phương \(S\)

\(S = k a^{2} + \left(\right. 20 - k \left.\right) b^{2}\)

---

Bước 5: Áp dụng điều kiện

Như đã nói ở Bước 1:

\(S = a^{2} k + b^{2} \left(\right. 20 - k \left.\right)\)

Mà \(a\) và \(b\) thỏa:

\(a^{2} + a - S = 0 , b^{2} + b - S = 0\)

---

Bước 6: Hệ phương trình

Ta có hai ẩn là \(S\) và \(k\) (số lượng các phần tử bằng \(a\)):

\(\left{\right. S = k a^{2} + \left(\right. 20 - k \left.\right) b^{2} \\ a = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 S}}{2} \\ b = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 S}}{2}\)

---

Bước 7: Thay \(a^{2} = S - a\), \(b^{2} = S - b\) (từ phương trình ở bước 1)

\(S = k \left(\right. S - a \left.\right) + \left(\right. 20 - k \left.\right) \left(\right. S - b \left.\right) = 20 S - k a - \left(\right. 20 - k \left.\right) b\)\(S = 20 S - k a - 20 b + k b\)\(S - 20 S = - k a - 20 b + k b\)\(- 19 S = k \left(\right. b - a \left.\right) - 20 b\)

---

Bước 8: Giải ra \(k\):

\(k \left(\right. b - a \left.\right) = - 19 S + 20 b\)\(k = \frac{20 b - 19 S}{b - a}\)

---

Bước 9: Lưu ý \(k\) phải là số nguyên từ 0 đến 20, \(S \geq 0\), và \(a , b\) theo \(S\).

---

Tóm lại:

• Bộ số gồm 20 phần tử, mỗi phần tử bằng \(a\) hoặc \(b\), nghiệm phương trình \(t^{2} + t - S = 0\).
• Số lượng \(k\) phần tử bằng \(a\) thỏa công thức ở trên.
• Dựa vào điều kiện này, có thể tìm các giá trị \(S\) sao cho \(k \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 20 \left.\right}\) nguyên.

---

Kết luận:

• Có nhiều bộ số thỏa mãn, được xác định bởi \(S\) và \(k\) thỏa điều kiện.
• Ví dụ đơn giản:
• • Nếu tất cả bằng số \(a\), tức \(k = 20\), thì:
    \(S = 20 a^{2}\)
    và a^2 + a - S = 0 \Rightarrow a^2 + a - 20 a^2 = 0 \Rightarrow -19 a^2 + a = 0 \Rightarrow a(1 - 19 a) = 0 \] ⇒ \( a=0 hoặc \(a = \frac{1}{19}\)
    Nếu \(a = 0\), thì tất cả số bằng 0 ⇒ thoả mãn.
    Nếu \(a = \frac{1}{19}\), ta kiểm tra lại điều kiện.