Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Angela jolie - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Vì là số hữu tỉ nên \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b}\left(a;b\inℕ^∗\right)\)
\(\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2013}=ay+az\sqrt{2013}\)
\(\Leftrightarrow az\sqrt{2013}-by\sqrt{2013}=bx-ay\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2013}\left(az-by\right)=bx-ay\)
Vì VP là số hữu tỉ nên VT là số hữu tỉ
Mà \(\sqrt{2013}\)là số vô tỉ
Nên \(bx-ay=az-by=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx=ay\\az=by\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\\frac{y}{z}=\frac{a}{b}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow xz=y^2\)
Ta có \(x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Mà \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}}\)(Do \(x-y+z< x+y+z\))
Vì x ; y ; z nguyên dương nên \(x;y;z\ge1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x\\y^2\ge y\\z^2\ge z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 (thỏa mãn)
Theo đề ra ta có: \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{m}{n}\left(m,n\in Z;\left(m,n\right)=1\right).\)
\(\Rightarrow nx+ny\sqrt{2013}=my+mz\sqrt{2013}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2013}\left(mz-ny\right).\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\mz-ny=0\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2\)(vì x,y,n,m đều là các số nguyên )
Khi đó: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)
\(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Dễ thấy \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)
Thử lại ta thấy x=y=z=1 thỏa mãn .
\(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\frac{m}{n}\) (với m;n nguyên dương và nguyên tố cùng nhau)
\(\Leftrightarrow nx+ny\sqrt{2017}=my+mz\sqrt{2017}\)
\(\Leftrightarrow nx-my=\left(mz-ny\right)\sqrt{2017}\)
Vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}nx-my=0\\mz-ny=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{n}{m}=\frac{y}{x}\\\frac{n}{m}=\frac{z}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\Rightarrow y^2=zx\)
\(\left(y+2\right)\left(4zx+6y-3\right)=\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\)
Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)
\(\Leftrightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là số chính phương khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y+2=a^2\\4y^2+6y-3=b^2\end{matrix}\right.\) với a;b nguyên dương
Xét \(4y^2+6y-3=b^2\Leftrightarrow16y^2+24y-12=\left(2b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+3-2b\right)\left(4y+3+2b\right)=21\)
\(\Rightarrow y=2\) (thỏa mãn \(y+2=a^2\))
\(\Rightarrow xz=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)
Vậy ta có các bộ \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)