Question

[Nguyễn Gia Huy]

tìm số tự nhiên n sao cho n-2000 và n-2011 đều là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Đức Trí]

\(n-2000=a^2\left(a\in N\right)\Rightarrow n=a^2+2000\left(1\right)\)

\(n-2011=b^2\left(b\in N\right)\Rightarrow n=b^2+2011\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow a^2+2000=b^2+2011\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=11\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=11\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right);\left(a+b\right)\in U\left(11\right)=\left\{1;11\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left\{6;5\right\}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow n=36+2000=2036\)

Kiểm tra \(\left(2\right)\Rightarrow n=25+2011=2036\left(đúng\right)\)

Vậy \(n=2036\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

    Đây là toán nâng cao chuyên đề giải phương trình nghiệm nguyên, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                             Giải:

Vì n - 2000 là số chính phương nên n - 2000 = k² (k \(\in\) N)

Vì n - 2011 là số chính phương nên n - 2011 = d²(d\(\in\) N); d < k

Hiệu của hai số trên là: n - 2000 - (n - 2011) = k² - d²

            n - 2000 - n + 2011 = k² - d²

           (n - n) + (2011 - 2000) = k² - d²

                0 + 11 = k²  - kd + kd - d²

                       11 = (k² - kd) + (kd - d²)

                        11 = k(k - d) + d(k -  d)

                       11 = (k - d).(k + d); Ư(11) = {1; 11} 

  Vì k; d \(\in\)  N ta có:   k - d < k + d ⇒ k - d = 1; k + d = 11

       k - d = 1 ⇒ k = 1 + d ⇒ 1  + d  + d = 11  ⇒ d + d = 11 - 1

⇒ 2d = 10 ⇒ d = 10 : 2  = 5 ⇒ n - 2011 = d² = 5² = 25

⇒ n = 2011 + 25 = 2036

Vậy n = 2036