Question

[Rồng Đom Đóm]

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để \(5^n+1\) chia hết cho \(7^{2018}\)

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

Ta thấy \(5^n+1⋮7^{2018}\) nên \(5^{2n}-1⋮7^{2018}\).

Lại có k = 6 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn \(5^k-1⋮7\Rightarrow2n⋮6\Rightarrow n⋮3\).

Đặt n = 3h.

Nếu n chia hết cho 6 thì \(5^n-1⋮5^6-1\Rightarrow5^n-1⋮7\Rightarrow5^n+1⋮7̸\)(vô lí).

Do đó h là số lẻ.

Đặt h = 2m + 1 thì n = 3(2m + 1).

\(5^{2n}-1⋮7^{2018}\Rightarrow\left(5^6\right)^{2m+1}-1⋮7^{2018}\).

Do 5⁶ - 1 chia hết cho 7 nên \(2018\le v_7\left(\left(5^6\right)^{2m+1}-1\right)=v_7\left(5^6-1\right)+v_7\left(2m+1\right)=1+v_7\left(2m+1\right)\Rightarrow m\ge1008\).

Từ đó \(n\ge6051\).

Vậy n nhỏ nhất là 6051.