Question

[vũ thị ánh dương]

Tìm số tự nhiên n để 

\(P=n^4+2n^{3\:}+2n^2+2n+1\)là số chính phương 

Cần gấp ạ thanks mn nhiều 

Answer 1

[Hoàng Nguyễn Văn]

P=(n^4+n^3)+(n^3+n^2)+(n^2+n)+(n+1)

P=n^3(n+1)+n^2(n+1)+n(n+1)+(n+1)

P=(n^3+n^2+n+1)(n+1)

P=[(n^3+n^2)+(n+1)](n+1)

P=[n^2(n+1)+(n+1)](n+1)

P=[(n^2+1)(n+1)](n+1)

P=(n^2+1)(n+1)^2

Mà P là số chính phương , (n+1)^2 là số chính phương

=> n^2+1 là số chính phương

=> n^2+1=a^2(a là số nguyên)

=> n^2-a^2=-1

=>(n+a)(n-a)=-1

mà n là số tự nhiên, a là số nguyên=> n+a,n-a là số nguyên

=> n+a=-1 ; n-a=1 hoặc n+a=1; n-a=-1

=> n=0; a=-1 hoặc n=0; a=1

Vậy n=0